Задачи на движение

Задачи на скорость, время и расстояние являются одной из основных типов задач по математике, которые должен уметь решать каждый школьник. В данной статье рассмотрены все типы задач на движение:
— простые задачи на скорость, время и расстояние;
— задачи на встречное и противоположное движение;
— задачи на движение в одном направлении (на сближение и удаление);
— задачи на движение по реке.

Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы

скорость = расстояние: время — формула нахождения скорости;

время = расстояние: скорость — формула нахождения времени;

расстояние = скорость · время — формула нахождения расстояния.

Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.
Пример обозначения: 7 км/ч (читается: семь километров в час).
Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным.

Примеры простых задач.

Задача 3: Грузовик ехал 5 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?
Решение: 70 · 3 = 350 (км)
Ответ: Грузовик за 5 часов проехал 350 км.

Задачи на встречное движение

В таких задачах два объекта движутся навстречу друг другу.
Задачи на встречное движение можно решать двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость сближения объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Задача 4. Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два поезда и встретились через 3 часа. Первый поезд ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты?
Решение:
Первый способ. Найти расстояние, которое проехал каждый автобус, и сложить полученные данные:
80*3=240 (км) – проехал 1й автобус, 70*3=210 (км) – проехал 2й поезд,
240+210=450 (км) – проехали два поезда.
Второй способ. Найти скорость сближения поездов, то есть на сколько сокращалось расстояние между ними каждый час; а затем найти расстояние:
80+70=150 (км/ч), 150*3=450 (км).
Ответ: города находятся на расстоянии 450 км.

Задача 5. Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа, если расстояние между городами 450 км?
Решение:
Первый способ. Определить, сколько километров проехал каждый автобус и найти расстояние, которое осталось проехать:
80*2=160 (км)-проехал 1й автобус, 70*2=140 (км)-проехал 2й автобус,
160+140=300 (км)-проехали два автобуса, 450-300=150 (км)-осталось проехать.
Второй способ. Найти скорость сближения автобусов и умножить ее на время в пути.
80*70=150 (км/ч) – скорость сближения; 150*2=300 (км) – проехали два автобуса; 450-300=150 (км) – осталось проехать.
Ответ: Через 2часа расстояние между автобусами будет 150 км.

Задачи на движение в противоположных направлениях

В таких задачах два объекта движутся в противоположных направлениях, отдаляясь друг от друга. В таком типе задачи используется скорость удаления. Задачи на движение в противоположных направлениях также можно решить двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость удаления объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Задача 6. Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
Решение:
Первый способ. Определить расстояние, которое проехал каждый автомобиль и найти сумму полученных результатов:
1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль
2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль
400 + 280 = 680 (км)
Второй способ. Найти скорость удаления, то есть значение увеличения расстояния между автомобилями за каждый час, а затем скорость удаления умножить на время в пути.
100 + 70= 170 км/ч – это скорость удаления автомобилей.
170 · 4 = 680 (км)
Ответ: Через 4 часа между автомобилями будет 680 км.

Задача 7. Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли в противоположных направлениях два туриста. Первый турист шёл со скоростью 4 км/ч, а второй — 5 км/ч. Какое расстояние между туристами будет через 5 часов?
Решение:
Первый способ. Определить сколько километров прошёл каждый из туристов за 5 часов, сложить полученные результаты, а затем к полученному расстоянию прибавить расстояние между населенными пунктами.
1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый турист;
2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй турист;
3) 20 + 25 = 45 (км);
4) 45 + 40 = 85 (км).
Второй способ. Найти скорость удаления пешеходов, затем найти пройденное расстояние, к полученному результату прибавить расстоянием между населёнными пунктами.
4 + 5 = 9 (км/ч);
9 · 5 = 45 (км);
45 + 40 = 85 (км);
Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 85 км.

Задачи на движение в одном направлении

В таких задачах два объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, при этом они сближаются друг с другом или отдаляются друг от друга. Соответственно находится скорость сближения или скорость удаления объектов.

Формула нахождения скорости сближения или удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении: из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 8. Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?,
Решение:
Задачу можно решить с помощью уравнения.
В этом случае скорость первого автомобиля 40 км/час, время в пути на 4 часа больше, чем время второго автомобиля (или t+4). Скорость второго автомобиля 60 км/час, время в пути – t. Расстояние оба автомобиля проехали одинаковое. Поэтому можно составить уравнение: 40*(t+4)=60*t. Отсюда получаем t=8 (часов) – время в пути второго автомобиля, за которое он догонит первый.
Решение задачи без использования уравнения.
Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на: 40 · 4 = 160 (км).
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит, каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей: 60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения.
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся: 160 : 20 = 8 (ч)
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 9. Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов: 5 — 4 = 1 (км/ч).
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого: 5 : 1 = 5 (ч)
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача 10. Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.
1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?
Решение:
1) 80 — 40 = 40 (км/ч) — скорость удаления автомобилей друг от друга.
2) 40 · 3 = 120 (км) – расстояние между ними через 3 часа./
3) 200 : 40 = 5 (ч) – время, через которое расстояние между автомобилями станет 200 км.
Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Задачи на движение по реке

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки. Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.

Задача 11. Лодка движется по реке. За сколько часов она преодолеет расстояние 120 км, если ее собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Решение:
1) лодка движется по течению реки.
27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.
120 : 30 = 4 (ч) – проплывет путь.
2) лодка движется против течения реки.
27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки против течения реки
120 : 24 = 5 (ч) – проплывет путь.
Ответ:
1) При движении по течению реки лодка потратит 4 часа на путь.
2) При движении против течения реки лодка потратит 5 часов на путь.

Итак, для решения задач на движение:

  1. Основная формула:S=ν*t;
  2. Нужно сделать чертеж, который поможет определить тип задачи.
  3. Все цифры нужно привести в единые единицы измерения: длина и время

Заключение.

Решая много задач по данной теме, ученик обязательно научится быстро ориентироваться в понятиях «скорость», «время» и «расстояние» и быстро решать задачи всех типов.

Тут есть простые и сложные задачи на движение для 4 класса! На встречное движение, на движение в разных направлениях и другое.

Решайте с удовольствием!!!

Задачи на нахождение времени:

Из одной точки в разные стороны выехали 2 машины. Их скорости – 70 и 140 км/ч. Через 4 часа машина с наибольшей скоростью развернулась и принялась догонять другую. (Все машины ехали). И догнала. Сколько часов транспорт был в пути?

На расстоянии 350 км навстречу друг другу выплыли 2 лодки. Их скорости – 30 и 40 км/ч. Они плыли 4 часа. Оставшееся время до встречи они двигались со скоростями по 35 км/ч. Сколько часов они плыли, пока не встретились?

Задачи на нахождение расстояния и скорости:

Однажды папа и дедушка решили поспорить, что быстрее: машина или автобус. Начальная скорость у машины – 100 км/ч, а у автобуса – 60 км/ч. И вот они стартовали. При этом известно, что у машины каждый час скорость уменьшается на 10 км, а у автобуса на 10 км увеличивается. Кто будет раньше через 5 часов, если оба начали с одного места и едут в одном направлении?

Котик и собачка с одного места в разных направлениях пробежали по 66 километров. Собачка за 2 часа, а котенок – за 3. С такой же скоростью они вернулись обратно. И с этой же скоростью они бежали в разных направлениях 2 часа. А сколько метров они пробежали вместе?

Папа едет со скоростью 180 км/час. Когда он проехал 45 км, поменял скорость на 120 км/час. Сколько надо времени, чтобы проехать 105 км?

Первые 3 часа папа ехал со скоростью 160 км/ч, а потом снизил скорость в 2 раза. Сколько км он проедет, если время его поездки составляет 5 часов?

Задачи Дня – Больше задач на движение!

  • Без рубрики
  • Дополнительная информация
  • Загадки и вопросы
  • Задачи для детей
  • Задачи на движение
  • Задачи на движение
  • Закономерности
  • История задач
  • Коронавирус в математике – задачи и загадки
  • Логические задачи
  • Математические задачи
  • Пазлы
  • Раскраски для детей
  • Ребусы
  • Что такое МАТШАРИК?

Итак, допустим, наши тела двигаются в одном направлении. Как ты думаешь, сколько случаев может быть для такого условия? Правильно, два.

Почему так получается? Уверена, что после всех примеров ты с легкостью сам разберешься, как вывести данные формулы.

Разобрался? Молодец! Пришло время решить задачу.

Четвертая задача

Коля едет на работу на машине со скоростью км/ч. Коллега Коли Вова едет со скоростью км/ч. Коля от Вовы живет на расстоянии км.

Через сколько времени Вова догонит Колю, если из дома они выехали одновременно?

Посчитал? Сравним ответы – у меня получилось, что Вова догонит Колю через часа или через минут.

Сравним наши решения…

Рисунок выглядит вот таким образом:

Похож на твой? Молодец!

Так как в задаче спрашивается, через сколько ребята встретились, а выехали они одновременно, то время , которое они ехали, будет одинаковым, так же как место встречи (на рисунке оно обозначено точкой ). Составляя уравнения, возьмем время за .

Итак, Вова до места встречи проделал путь . Коля до места встречи проделал путь . Это понятно. Теперь разбираемся с осью передвижения.

Начнем с пути, который проделал Коля. Его путь ( ) на рисунке изображен как отрезок . А из чего состоит путь Вовы ( )? Правильно, из суммы отрезков и , где – изначальное расстояние между ребятами, а равен пути, который проделал Коля.

Исходя из этих выводов, получаем уравнение:

Разобрался? Если нет, просто прочти это уравнение еще раз и посмотри на точки, отмеченные на оси. Рисунок помогает, не правда ли?

Решаем дальше и получаем:

часа или минут минут.

Надеюсь, на этом примере ты понял, насколько важную роль играет грамотно составленный рисунок!

А мы плавно переходим, точнее, уже перешли к следующему пункту нашего алгоритма – приведение всех величин к одинаковой размерности.

Правило трех «Р» — размерность, разумность, расчет.

Размерность.

Далеко не всегда в задачах дается одинаковая размерность для каждого участника движения (как это было в наших легких задачках).

Например, можно встретить задачи, где сказано, что тела двигались определенное количество минут, а скорость их передвижения указана в км/ч.

Мы не можем просто взять и подставить значения в формулу – ответ получится неверный. Даже по единицам измерения наш ответ «не пройдет» проверку на разумность. Сравни:

Видишь? При грамотном перемножении у нас также сокращаются единицы измерения, и, соответственно, получается разумный и верный результат.

А что происходит, если мы не переводим в одну систему измерения? Странная размерность у ответа и % неверный результат.

Итак, напомню тебе на всякий случай значения основных единиц измерения длины и времени.

  • Единицы измерения длины:

сантиметр = миллиметров

дециметр = сантиметров = миллиметров

метр = дециметров = сантиметров = миллиметров

километр = метров

  • Единицы измерения времени:

минута = секунд

час = минут = секунд

сутки = часа = минут = секунд

Совет: Переводя единицы измерения, связанные с временем (минуты в часы, часы в секунды и т.д.) представь в голове циферблат часов. Невооруженным глазом видно, что минут это четверть циферблата, т.е. часа, минут это треть циферблата, т.е. часа, а минута это часа.

А теперь совсем простенькая задача:

Маша ехала на велосипеде из дома в деревню со скоростью км/ч на протяжении минут. Какое расстояние между машиным домом и деревней?

Посчитал? Правильный ответ – км.

минут – это час, и еще минут от часа (мысленно представил себе циферблат часов, и сказал, что минут – четверть часа), соответственно – мин = ч.

км

Разумность.

Ты же понимаешь, что скорость машины не может быть км/ч, если речь, конечно, идет не о спортивном болиде? И уж тем более, она не может быть отрицательной, верно? Так вот, разумность, это об этом)

Расчет.

Посмотри, «проходит» ли твое решение на размерность и разумность, и только потом проверяй расчеты. Логично же – если с размерностью и разумностью получается несостыковочка, то проще все зачеркнуть и начать искать логические и математические ошибки.

«Любовь к таблицам» или «когда рисунка недостаточно»

Далеко не всегда задачи на движение такие простые, как мы решали раньше. Очень часто, для того, чтобы правильно решить задачу, нужно не просто нарисовать грамотный рисунок, но и составить таблицу со всеми данными нам условиями.

Первая задача

Из пункта в пункт , расстояние между которыми км, одновременно выехал велосипедист и мотоциклист. Известно, что в час мотоциклист проезжает на км больше, чем велосипедист.

Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт на минут позже, чем мотоциклист.

Вот такая вот задача. Соберись, и прочитай ее несколько раз. Прочитал? Начинай рисовать – прямая, пункт , пункт , две стрелочки…

В общем рисуй, и сейчас сравним, что у тебя получилось.

Пустовато как-то, правда? Рисуем таблицу.

Как ты помнишь, все задачи на движения состоят из компонентов: скорость, время и путь. Именно из этих граф и будет состоять любая таблица в подобных задачах.

Правда, мы добавим еще один столбец – имя, про кого мы пишем информацию – мотоциклист и велосипедист.

Так же в шапке укажи размерность, в какой ты будешь вписывать туда величины. Ты же помнишь, как это важно, правда?

У тебя получилась вот такая таблица?

Скорость
км/ч
Время t,
часов
Путь S,
км
велосипедист
мотоциклист

Теперь давай анализировать все, что у нас есть, и параллельно заносить данные в таблицу и на рисунок.

Первое, что мы имеем – это путь, который проделали велосипедист и мотоциклист. Он одинаков и равен км. Вносим!

Скорость
км/ч

Время t,
часов
Путь S,
км
велосипедист 30
мотоциклист 30

Рассуждаем дальше. Мы знаем, что мотоциклист проезжает на км/ч больше, чем велосипедист, да и в задаче нужно найти скорость велосипедиста…

Возьмем скорость велосипедиста за , тогда скорость мотоциклиста будет …

Если с такой переменной решение задачи не пойдет – ничего страшного, возьмем другую, пока не дойдем до победного. Такое бывает, главное не нервничать!

Скорость
км/ч

Время t,
часов

Путь S,
км

велосипедист 30
мотоциклист 30

Таблица преобразилась. У нас осталась не заполнена только одна графа – время. Как найти время, когда есть путь и скорость?

Правильно, разделить путь на скорость. Вноси это в таблицу.

Скорость
км/ч

Время t,
часов

Путь S,
км

велосипедист 30
мотоциклист 30

Вот и заполнилась наша таблица, теперь можно внести данные на рисунок.

Что мы можем на нем отразить?

Молодец. Скорость передвижения мотоциклиста и велосипедиста.

Еще раз перечитаем задачу, посмотрим на рисунок и заполненную таблицу.

Какие данные не отражены ни в таблице, ни на рисунке?

Верно. Время, на которое мотоциклист приехал раньше, чем велосипедист. Мы знаем, что разница во времени – минут.

Что мы должны сделать следующим шагом? Правильно, перевести данное нам время из минут в часы, ведь скорость дана нам в км/ч.

минут / минут = часа.

И что дальше, спросишь ты? А дальше числовая магия!

Магия формул: составление и решение уравнений – манипуляции, приводящие к единственно верному ответу.

Итак, как ты уже догадался, сейчас мы будем составлять уравнение.

Составление уравнения:

Взгляни на свою таблицу, на последнее условие, которое в нее не вошло и подумай, зависимость между чем и чем мы можем вынести в уравнение?

Правильно. Мы можем составить уравнение, основываясь на разнице во времени!

Логично? Велосипедист ехал больше, если мы из его времени вычтем время движения мотоциклиста, мы как раз получим данную нам разницу.

Это уравнение – рациональное. Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Рациональные уравнения».

Приводим слагаемые к общему знаменателю:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:Уф! Усвоил? Попробуй свои силы на следующей задаче.

Решение уравнения:

Из этого уравнения мы получаем следующее:

Раскроем скобки и перенесем все в левую часть уравнения:

Вуаля! У нас простое квадратное уравнение. Решаем!

Мы получили два варианта ответа. Смотрим, что мы взяли за ? Правильно, скорость велосипедиста.

Вспоминаем правило «3Р», конкретнее «разумность». Понимаешь о чем я? Именно! Скорость не может быть отрицательной, следовательно, наш ответ – км/ч.

Вторая задача

Два велосипедиста одновременно отправились в -километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на часов раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Напоминаю алгоритм решения:

  • Прочитай задачу пару раз – усвой все-все детали. Усвоил?
  • Начинай рисовать рисунок – в каком направлении они двигаются? какое расстояние они прошли? Нарисовал?
  • Проверь, все ли величины у тебя одинаковой размерности и начинай выписывать кратко условие задачи, составляя табличку (ты же помнишь какие там графы?).
  • Пока все это пишешь, думай, что взять за ? Выбрал? Записывай в таблицу! Ну а теперь просто: составляем уравнение и решаем. Да, и напоследок – помни о «3Р»!
  • Все сделал? Молодец! У меня получилось, что скорость велосипедиста – км/ч.

-«Какого цвета твоя машина?» — «Она красивая!» Правильные ответы на поставленные вопросы

Продолжим наш разговор. Так какая там скорость у первого велосипедиста? км/ч? Очень надеюсь, что ты сейчас не киваешь утвердительно!

Внимательно прочти вопрос: «Какая скорость у первого велосипедиста?»

Понял, о чем я?

Именно! Полученный – это не всегда ответ на поставленный вопрос!

Вдумчиво читай вопросы — возможно, после нахождения тебе нужно будет произвести еще некоторые манипуляции, например, прибавить км/ч, как в нашей задаче.

Еще один момент — часто в задачах все указывается в часах, а ответ просят выразить в минутах, или же все данные даны в км, а ответ просят записать в метрах.

Смотри за размерностью не только в ходе самого решения, но и когда записываешь ответы.

Задачи на движение по кругу

Тела в задачах могут двигаться не обязательно прямо, но и по кругу, например, велосипедисты могут ехать по круговой трассе. Разберем такую задачу.

Задача №1

Из пункта круговой трассы выехал велосипедист. Через минут он еще не вернулся в пункт и из пункта следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.

Решение задачи №1

Попробуй нарисовать рисунок к этой задаче и заполнить для нее таблицу. Вот что получилось у меня:

Пусть скорость велосипедиста будет , а мотоциклиста – . До момента первой встречи велосипедист был в пути минут, а мотоциклист – .

При этом они проехали равные расстояния:

Между встречами велосипедист проехал расстояние , а мотоциклист – .

Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили – спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.

Значит,

Полученные уравнения решаем в системе:

Ответ: .

Разобрался? Попробуй решить самостоятельно следующие задачи:

Задачи для самостоятельной работы:

  1. Два мо­то­цик­ли­ста стар­ту­ют од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из двух диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точек кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна км. Через сколь­ко минут мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, если ско­рость од­но­го из них на км/ч боль­ше скорости дру­го­го?
  2. Из одной точки кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна км, од­н­времен­но в одном на­прав­ле­нии стар­то­ва­ли два мотоциклиста. Ско­рость пер­во­го мотоцикла равна км/ч, и через минут после стар­та он опе­ре­дил вто­рой мотоцикл на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го мотоцикла. Ответ дайте в км/ч.

Решения задач для самостоятельной работы:

  1. Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го мо­то­цик­ли­ста, тогда ско­рость вто­ро­го мо­то­цик­ли­ста равна км/ч. Пусть пер­вый раз мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся через часов. Для того, чтобы мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­лись, более быст­рый дол­жен пре­одо­леть из­на­чаль­но раз­де­ля­ю­щее их рас­сто­я­ние, рав­ное по­ло­ви­не длины трас­сы.
    Получаем, что время равно часа = минут.
  2. Пусть ско­рость вто­ро­го мотоцикла равна км/ч. За часа пер­вый мотоцикл про­шел на км боль­ше, чем вто­рой, соответственно, получаем уравнение:
    Скорость второго мотоциклиста равна км/ч.

Задачи на течение

Теперь, когда ты отлично решаешь задачи «на суше», перейдем в воду, и рассмотрим страаашные задачи, связанные с течением.

Представь, что у тебя есть плот, и ты спустил его в озеро. Что с ним происходит? Правильно. Он стоит, потому что озеро, пруд, лужа, в конце концов, – это стоячая вода.

Скорость течения в озере равна .

Плот поедет, только если ты сам начнешь грести. Та скорость, которую он приобретет, будет собственной скоростью плота. Неважно куда ты поплывешь – налево, направо, плот будет двигаться с той скоростью, с которой ты будешь грести. Это понятно? Логично же.

А сейчас представь, что ты спускаешь плот на реку, отворачиваешься, чтобы взять веревку…, поворачиваешься, а он … уплыл…

Это происходит потому что у реки есть скорость течения, которая относит твой плот по направлению течения.

Его скорость при этом равна нулю (ты же стоишь в шоке на берегу и не гребешь) – он движется со скоростью течения.

Разобрался?

Тогда ответь вот на какой вопрос – «С какой скоростью будет плыть плот по реке, если ты сидишь и гребешь?» Задумался?

Здесь возможно два варианта.

1-й вариант — ты плывешь по течению.

И тогда ты плывешь с собственной скоростью + скорость течения. Течение как бы помогает тебе двигаться вперед.

2-й вариант — ты плывешь против течения.

Тяжело? Правильно, потому что течение пытается «откинуть» тебя назад. Ты прилагаешь все больше усилий, чтобы проплыть хотя бы метров, соответственно скорость, с которой ты передвигаешься, равна собственная скорость – скорость течения.

Допустим, тебе надо проплыть км. Когда ты преодолеешь это расстояние быстрее? Когда ты будешь двигаться по течению или против?

Решим задачку и проверим.

Добавим к нашему пути данные о скорости течения – км/ч и о собственной скорости плота – км/ч. Какое время ты затратишь, двигаясь по течению и против него?

Конечно, ты без труда справился с этой задачей! По течению – час, а против течения аж часа!

В этом и есть вся суть задач на движение с течением.

Несколько усложним задачу.

Лодка с моторчиком плыла из пункта в пункт часа, а обратно – часа.

Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде – км/ч

Обозначим расстояние между пунктами, как , а скорость течения – как .

Все данные из условия занесем в таблицу:

Путь S Скорость v,
км/ч
Время t,
часов
A –> B (против течения) 3
B –> A (по течению) 2

Мы видим, что лодка проделывает один и тот же путь, соответственно:

Что мы брали за ?

Скорость течения. Тогда это и будет являться ответом:)

Скорость течения равна км/ч.

Задача №2

Байдарка в вышла из пункта в пункт , расположенный в км от . Пробыв в пункте час минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт в .

Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки км/ч.

Решение задачи №2

Итак, приступим. Прочитай задачу несколько раз и сделай рисунок. Думаю, ты без труда сможешь решить это самостоятельно.

Все величины у нас выражены в одном виде? Нет. Время отдыха у нас указано и в часах, и в минутах.

Переведем это в часы:

час минут = ч.

Теперь все величины у нас выражены в одном виде. Приступим к заполнению таблицы и поиску того, что мы возьмем за .

Пусть – собственная скорость байдарки. Тогда, скорость байдарки по течению равна , а против течения равна .

Запишем эти данные, а так же путь (он, как ты понимаешь, одинаков) и время, выраженное через путь и скорость, в таблицу:

Путь S Скорость v,
км/ч
Время t,
часов
Против течения 26
По течению 26

Посчитаем, сколько времени байдарка затратила на свое путешествие:

часов.

Все ли часов она плыла? Перечитываем задачу.

Нет, не все. У нее был отдых час минут, соответственно, из часов мы вычитаем время отдыха, которое, мы уже перевели в часы:

ч байдарка действительно плыла.

Догадываешься, что мы делаем дальше? Правильно! Приравниваем полученное время к тому времени, которое мы выразили в таблице через путь и скорость. Получаем:

Приведем все слагаемые к общему знаменателю :

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Далее решаем получившееся квадратное уравнение.

С этим, я думаю, ты тоже справишься самостоятельно. Какой ответ у тебя получился? У меня км/ч.

Подведем итоги

  1. Основная формула:
  2. Алгоритм решения задач на движение подразумевает выполнение двух больших этапов:
  3. В задачах на движение обязательно необходимо рисовать чертеж. Тела могут двигаться навстречу друг другу, в противоположные стороны и догонять друг друга.
  4. Все цифры нужно привести в единой размерности – только км или только м; только часы или минуты, и т.д.
  5. Решая задачи, удобно записывать данные в виде таблицы с обязательными графами – путь, скорость и время.
  6. За можно брать как то, что нужно найти в задаче, так и другое неизвестное.
  7. Внимательно читай, что спрашивается в задаче! – не всегда ответ. Кроме этого, в ответе могут попросить указать величину в другой единице измерения (не в той, которая вышла у тебя, решая уравнение).
  8. Задачи на движение по течению решаются в две формулы:

Задачи на движение. Примеры

Рассмотрим примеры с решениями для каждого типа задач.

Движение с течением

Одни из самых простых задач – задачи на движение по реке. Вся их суть в следующем:

  • если движемся по течению, к нашей скорости прибавляется скорость течения;
  • если движемся против течения, из нашей скорости вычитается скорость течения.

Пример №1:

Катер плыл из пункта A в пункт B часов а обратно – часа. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде км/ч.

Решение №1:

Обозначим расстояние между пунктами, как AB, а скорость течения – как .

Все данные из условия занесем в таблицу:

Путь S Скорость v,
км/ч
Время t, часов
A –> B (против течения) AB 50–x 5
B –> A (по течению) AB 50+x 3

Для каждой строки этой таблицы нужно записать формулу:

На самом деле, можно не писать уравнения для каждой из строк таблицы. Мы ведь видим, что расстояние, пройденное катером туда и обратно одинаково.

Значит, расстояние мы можем приравнять. Для этого используем сразу формулу для расстояния:

Часто приходится использовать и формулу для времени:

Пример №2:

Против течения лодка проплывает расстояние в км на час дольше, чем по течению. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна км/ч.

Решение №2 :

Попробуем сразу составить уравнение. Время против течения на час больше, чем время по течению.

Это записывается так:

Теперь вместо каждого времени подставим формулу:

Получили обычное рациональное уравнение, решим его:

Очевидно, что скорость не может быть отрицательным числом, значит, ответ: км/ч.

Относительное движение

Если какие-то тела движутся друг относительно друга, часто бывает полезно посчитать их относительную скорость. Она равна:

  • сумме скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
  • разности скоростей, если тела движутся в одном направлении.

Пример №1

Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями км/ч и км/ч. Через сколько минут они встретятся. Если расстояние между пунктами км?

I способ решения:

Относительная скорость автомобилей км/ч. Это значит, что если мы сидим в первом автомобиле, то он нам кажется неподвижным, но второй автомобиль приближается к нам со скоростью км/ч. Так как между автомобилями изначально расстояние км, время, через которое второй автомобиль проедет мимо первого:

II способ решения:

Время от начала движения до встречи у автомобилей, очевидно, одинаковое. Обозначим его . Тогда первый автомобиль проехал путь , а второй – .

В сумме они проехали все км. Значит,

Другие задачи на движение

Пример №1:

Из пункта А в пункт В выехал автомобиль. Одновременно с ним выехал другой автомобиль, который ровно половину пути ехал со скоростью на км/ч меньшей, чем первый, а вторую половину пути он проехал со скоростью км/ч.

В результате автомобили прибыли в пункт В одновременно.

Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше км/ч.

Решение №1:

Слева от знака равно запишем время первого автомобиля, а справа – второго:

Упростим выражение в правой части:

Поделим каждое слагаемое на АВ:

Получилось обычное рациональное уравнение. Решив его, получим два корня:

Из них только один больше .

Ответ: км/ч.

Если тебе непонятно, как получились эти корни, прочитай тему «Рациональные уравнения».

Пример №2

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Здесь будем приравнивать расстояние.

Пусть скорость велосипедиста будет , а мотоциклиста – . До момента первой встречи велосипедист был в пути минут, а мотоциклист – .

При этом они проехали равные расстояния:

Между встречами велосипедист проехал расстояние , а мотоциклист – . Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили– спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.

Значит,

Полученные уравнения решаем в системе:

Ответ: .

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Основная формула

, или

2. Относительное движение

  • Это сумма скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
  • разность скоростей, если тела движутся в одном направлении.

3. Движение с течением:

  • Если движемся по течению, к нашей скорости прибавляется скорость течения;
  • если движемся против течения, из скорости вычитается скорость течения.

Мы помогли тебе разобраться с задачами на движение…

Теперь твой ход…

Если ты внимательно прочитал текст и прорешал самостоятельно все примеры, готовы спорить, что ты все понял.

И это уже половина пути.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ

ШКОЛА № 15 п. БЕРЕЗАЙКА»

УЧИМСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ.

ПОСОБИЕ ДЛЯ ЧЕТВЕРОКЛАССНИКОВ.

/прикладные вопросы математики/

(коллективная работа учащихся 6а и 6б классов)

Работу представляет Аристов Денис,

Учащийся 6а класса МБОУ «СОШ № 15

п. Березайка» Бологовского района

Научный руководитель

Михайлова Надежда Анатольевна,

Учитель математики МБОУ «СОШ № 15»

г. Бологое

2012 год

РЕБЯТА!

Вы держите в руках книжку – помощницу по математике для четвероклассников. Мы придумали её для тех, кто хочет научиться решать задачи на движение. Это большая группа задач, которые считаются трудными для учеников начальных классов.

Мы определили две причины трудности:

  1. Первая – это понятие скорости. Почему? Потому что её нельзя увидеть, её нельзя измерить как время (часами) и как расстояние (линейкой);
  2. Вторая – чертёж в отрезках (математическая модель).

Научиться преодолевать трудности в решении задач на движение – это значит научиться определять зависимость между величинами: скорость, время, расстояние.

В книжку включены задачи с решениями и для самостоятельной работы. Надеемся, что вам понравится наше пособие. Желаем удачи!

Ученики 6а и 6б классов

МБОУ «СОШ № 15 п. Березайка»

ВВЕДЕНИЕ

В начальной школе, мы учились решать задачи. Мы записывали их по — разному: по действиям с пояснениями, с вопросами, выражением. Сначала задания были простыми: найти сумму, найти остаток, поделить на равные части. Затем они становились всё сложнее: найти неизвестное, сравнить числа, уменьшить в несколько раз. Среди всех решённых нами задач можно выделить отдельную группу. Это задачи «на движение».

Задачи «на движение» традиционно считаются трудными при изучении математики. Есть две причины трудности:

  1. Первая – это понятие скорости. Почему? Потому что её нельзя увидеть, её нельзя измерить как время (часами) и как расстояние (линейкой);
  2. Вторая – чертёж в отрезках (математическая модель).

Кто, если не мы будет преодолевать трудности в решении задач на движение? А это значит — научиться определять зависимость между величинами: скорость, время, расстояние.

Проблема вытекает из того, что трудно найти обучающие пособия решению задач одной конкретной группы / в частности «на движение»/. Поэтому мы — учащиеся 6а и 6б классов решили создать книжку – помощницу для четвероклассников. Отсюда вытекает цель работы: создание пособия, которое поможет ученикам 4 класса научиться решать задачи «на движение».

Задачи:

  1. разработать систему заданий «на движение»;
  2. экспериментально /при прорешивании/ проверить его эффективность.

Итог нашей работы – пособие в помощь ученикам, учителям и родителям.

Работа над книжкой – помощницей была начата в январе 2012 года и закончена в сентябре 2012 года.

В основной части работы представлено само пособие, как продукт нашей работы.

  1. Алгоритм работы над задачей.

С чего начать работу над задачей? Можно выделить следующие этапы:

  1. Читаем условие задачи. Условие – это та часть текста, где содержатся сведения об известных и неизвестных значениях величин, об отношениях между ними.
  2. Определяем требование, т.е. указание на то, что надо найти. Требование обычно выражается вопросом, начинающимся словом «Сколько…?» и заканчивающимся знаком вопроса.
  3. Находим данные задачи. Данные – это известные числа.
  4. Определяем искомое. Это конечная цель процесса решения арифметической задачи.
  5. Если что-то непонятно, необходимо обратиться за разъяснением к учителю. Могут встретиться непонятные слова и обороты.
  6. Ищем пути решения задачи и составляем план решения.
  7. Можно использовать графическую модель (схема в «отрезках») или составить таблицу.
  8. Записываем решение и ответ.
  9. Выполнить проверку (например, составление обратной задачи или решение другим способом).

1.1 УЧИМСЯ РАБОТАТЬ НАД ЗАДАЧЕЙ ПО АЛГОРИТМУ

Задача.

Расстояние между городом и зимовкой 150 км. Из города к зимовке выехали аэросани со средней скоростью 60 км/ч. В это же время навстречу им из зимовки по той же дороге вышел лыжник со скоростью 15 км/ч. На каком расстоянии от зимовки он встретит аэросани?

  1. Читаем условие задачи.
  2. Определяем требование: на каком расстоянии от зимовки он встретил аэросани?
  3. Данные задачи: расстояние 150 км между городом и зимовкой; скорости лыжника 15 км/ч и аэросаней 60 км/ч.
  4. Искомое: расстояние от зимовки до места встречи. Это расстояние, которое до встречи пройдёт лыжник.
  5. Ищем пути решения. Эта задача на встречное движение. Потому что в тексте задачи есть слова: В это же время навстречу им из зимовки по той же дороге вышел лыжник.
  6. К задаче можно сделать рисунок:

15км/ч 60 км/ч

150 км

  1. Лыжник и аэросани двигались навстречу друг другу. Можно узнать скорость сближения: 15 + 60 = 75 (км/ч)

Найдём время, через которое они встретятся. Для этого расстояние разделим на скорость. 150 : 75 = 2 (ч).

Какое расстояние пройдёт за это время лыжник? 15 · 2 = 30 (км). На таком расстоянии от зимовки они встретятся.

  1. Выплняем проверку.

Для этого решим обратную задачу. Теперь предположим, что мы знаем, что лыжник пройдёт до места встречи 30 км. Какое-нибудь данное задачи «превратим» в неизвестное. Пусть это будет скорость аэросаней. Решаем задачу по действиям:

Ответ: на расстоянии 30км от зимовки лыжник встретил аэросани.

Задача.

От одной пристани одновременно отошли две моторные лодки в противоположных направлениях. Одна шла со средней скоростью 250 м/мин, а другая – 200 м/мин. На каком расстоянии друг от друга будут лодки через 40 мин?

  1. Читаем условие задачи.
  2. Требование /вопрос задачи/: на каком расстоянии друг от друга будут лодки через 40 минут?
  3. Данные: время движения лодок 40 мин; скорости лодок 250 м/мин и 200 м/мин.
  4. Искомое: расстояние, на котором друг от друга будут лодки через 40 мин?
  5. Ищем пути решения. Эта задача на движение в противоположных направлениях. В тексте есть слова: одновременно отошли две моторные лодки в противоположных направлениях.
  6. К задаче можно сделать рисунок:

200 м/мин 250м/мин

40 мин

?

  1. Можно узнать скорость удаления лодок друг от друга. Для этого найдём сумму скоростей: 200 + 250 = 450 (м/мин). Это значит, что за минуту лодки удалились друг от друга на 450 метров.

Как найти, на сколько они удалились друг от друга за 40 минут? Нужно скорость удаления умножить на время:

450 · 40 = 18000 (м) = 18 км – расстояние между лодками через 40 минут.

  1. Проверка.

Пусть будет неизвестно в задаче время, за которое лодки удалились друг от друга на 18 км. Найдём это время, решив обратную задачу:

Проверка подтвердила правильность решения. Значит пишем ответ, полученный в задаче.

Ответ: 18 км – расстояние между лодками через 40 минут.

Задача.

Скорость моторной лодки в 3 раза больше скорости лодки на вёслах. За какое время моторная лодка пройдёт 24 км, если на вёсельной лодке это расстояние можно пройти за 5 часов?

  1. Читаем условие задачи.
  2. Требование: За какое время моторная лодка пройдёт 24 км?
  3. Данные: расстояние 24 км; время лодки на вёслах 5 часов; скорость моторной лодки в 3 раза больше скорости лодки на вёслах.
  4. Искомое: время моторной лодки.
  5. Ищем пути решения. Эта задача на движение, в которой лодки проходят одно и то же расстояние 24 км с разными скоростями и разным временем. Удобно воспользоваться таблицей.
  6. Данные помещаем в таблицу.

Скорость

Расстояние

Время

Мот.лодка — ? в 3 раза больше, чем

24 км

?

Вес. лодка _ ?

24 км

6 час

  1. В третьей строке таблицы известны две величины: время и расстояние. Найдём скорость.
  1. 24 : 6 = 4 (км/ч) – скорость лодки на вёслах.

Теперь, зная скорость лодки на вёслах и, учитывая. Что скорость моторной лодки в 3 раза больше, найдём скорость моторной лодки.

  1. 4 · 3 = 12 (км/ч) – скорость моторной лодки.

Время движения моторной лодки определим, поделив 24 км на её скорость: 12 км/ч.

  1. 24 : 12 = 2 (ч) – время движения моторной лодки.
  1. Проверка решения задачи:

Знаем время моторной лодки, но не знаем время лодки на вёсах. Решаем обратную задачу:

Пишем ответ, т.к. проверка показала правильность решения задачи.

Ответ: 2 часа.

  1. РЕШЕБНИК. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ «НА ДВИЖЕНИЕ»

/с разбором решений/.

Все задачи на движение решаются с использованием зависимости между скоростью, временем и расстоянием. В математике время обозначают буквой t, расстояние – буквой s, а скорость буквой v.

Зависимость между этими величинами можно записать при помощи формул: s = v · t ; v = s : t ; t = s : v.

Задача.

Мотоциклист ехал 3 часа со средней скоростью 60 км/ч и 2 часа со средней скоростью 70 км/час. Какое расстояние он проехал за это время? Узнай среднюю скорость движения.

Для решения этой задачи используем зависимость; расстояние – это скорость, умноженная на время.

Следовательно: 60 · 3 + 70 · 2 = 320 (км) – пройденное расстояние.

Чтобы найти среднюю скорость, найдём время движения: 3 ч. + 2 ч. = 5ч.

Средняя скорость: 320 : 5 = 64 (км/ч).

Ответ: 320 км; 64 км/ч.

При решении задач «на движение» используют понятия «скорость сближения» и «скорость удаления».

Скорость сближения – сумма скоростей двух объектов при одновременном движении навстречу друг другу.

Скорость удаления – сумма скоростей двух объектов при одновременном движении в противоположные стороны.

Скорость – это путь пройденный телом за единицу времени. Примеры: 3км/ч, 45м/мин, 20см/с, 8м/с и т.п.

Задача.

Из двух городов, расстояние между которыми 1200 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Один из них проходит это расстояние за 20 ч, а другой – за 30 ч. Через сколько часов поезда встретятся?

Эту задачу решаем без рисунка. Определяем данные задачи. Известно всё расстояние и время каждого поезда. Используя зависимость: v = s : t, можно найти скорости поездов.

Ответ: через 12 часов поезда встретятся.

ВНИМАНИЕ! Мы не сделали рисунок к этой задаче, т.к. можно допустить ошибку. Увидев на чертеже 20 ч и 30 ч, их ошибочно складывают. Потом делят весь путь на сумму 20 + 30 = 50 (ч) и получают неверный ответ.

Зависимость между скоростью, расстоянием и временем можно рассмотреть при составлении взаимообратных задач, оформляя их в таблицу.

Задание. Составьте три взаимообратные задачи по таблице:

Скорость

Время

Расстояние

?

4 ч

20 км

5 км/ч

?

20 км

5 км/ч

4 ч

?

Задача.

«Лада» проехала 180 км за 2 часа, а «Запорожец» прошёл это же расстояние за 3 часа. Какая машина ехала с большей скоростью?

В задаче известно расстояние и время каждой машины. Поместим данные в таблицу.

Машина

Скорость

Время

Расстояние

Лада

?

2 ч

180 км

Запорожец

?

3 ч

180 км

Можно найти скорость, применяя зависимость: v = s : t.

  1. 180 : 2 = 90 (км/ч) – скорость «Лады».
  2. 180 : 3 = 60 (км/ч) – скорость «Запорожца».
  3. 90 > 60 – скорость «Лады» больше.

Ответ: «Лада» ехала с большей скоростью.

Задача.

Первые 2 часа лыжник шёл со скоростью 18 км/ч, потом 2 часа со скоростью 15 км/ч, и ещё 2 часа со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние прошёл лыжник? С какой скоростью должен двигаться лыжник, чтобы пройти это расстояние за 5 часов?

Условие задачи обозначим на рисунке:

18км/ч 18 км/ч 15 км/ч 15 км/ч 12 км/ч 12 км/ч

Этот рисунок позволяет записать решение задачи выражением:

18 · 2 + 15 · 2 + 12 · 2 = 80 (км)

Второй вопрос задачи требует нахождения средней скорости. Для этого нужно всё расстояние поделить на всё время.

80 : 5 = 16 (км/ч) – средняя скорость движения.

Ответ: 80 км, 16 км/ч.

Если бы лыжник шёл с постоянной скоростью, то преодолел бы весь путь за 5 часов. Но лыжник шёл с разной скоростью: сначала спешил, потом стал уставать, и скорость стала меньше.

Задача.

Мотоциклист едет со скоростью 1 км/мин. Какое расстояние он проедет за 5 часов, если будет двигаться с той же скоростью?

Эта задача требует перевода единиц скорости. Внимательно читайте условие задачи. Скорость 1 км/мин, а время – 5 часов. Вспомним, что 1час = 60 мин, значит, за час мотоциклист проедет 60 км. Его скорость в новых единицах будет 60 км/ч.

60 · 5 = 300 км.

Ответ: за 5 часов мотоциклист проедет 300 км.

Задача.

Скорость одного пешехода 50 м/мин, а скорость второго пешехода 4 км/ч. За какое время пройдёт 12 км первый пешеход? За какое время это же расстояние пройдёт второй пешеход?

Если применить зависимость нахождения времени по известной скорости и расстоянию: t = s : v, то можно допустить ошибку: 12 : 50 и 12 : 4.

В первом случае деление выполнять нельзя. Величины несоразмерны.

12км : 50 м/мин. Удобно расстояние выразить в метрах.

  1. 12000м : 50 м/мин = 240 мин. = 4 ч – время первого пешехода.
  2. 12 : 4 = 3 ч – скорость второго пешехода.

Ответ: 4ч и 3ч.

Во втором действии не переводились км в м, т.к. 12 км и 4 км/ч – соразмерные единицы.

Задача.

Черепаха за 3 мин может проползти 15 м, а слон за это же время пройдёт 300 м. Во сколько раз скорость слона больше скорости черепахи?

В задаче известно время и расстояние. Нужно найти скорости слона и черепахи. Применяем зависимость: v = s : t.

Ответ: в 20 раз больше.

Задача.

Мотоциклисту нужно проехать 800 км. Он проехал 500 км по шоссе, а остальной путь – по просёлочной дороге со скоростью 50 км/ч. Сколько времени он ехал по просёлочной дороге? С какой скоростью он ехал по шоссе, если на весь путь в 800 км он затратил 11 ч?

Эта задача имеет большое условие, много данных. Будем решать её, построив графическую модель (рисунок).

Скорость — ? Скорость 50 км/ч

Время — ? Время — ?

Расстояние-500 км Расстояние ?

Расстояние 800 км

Время – 11 ч

Среди величин, обозначенных вопросами, найдём ту, которую можно найти в первую очередь. Это расстояние по просёлочной дороге.

800 – 500 = 300 км.

Число можно подписать на чертеже цветным карандашом: 300 км.

Теперь легко найти время движения по просёлочной дороге.

300 : 50 = 6 (ч).

11 – 6 = 5 (ч) – это время движения по шоссе.

Зная время движения по шоссе /5 ч/ и расстояние /500 км/ можно найти скорость.

500 : 5 = 100(км/ч)

Ответ: 6 ч по просёлочной дороге, 100 км/ч – скорость движения по шоссе.

Почему по шоссе мотоциклист ехал быстрее? Дорога лучше, поэтому скорость больше.

Задача.

Скорость электропоезда 80 км/ч. Это в 4 раза меньше скорости вертолёта. За сколько часов вертолёт может пролететь расстояние в 640 км?

Прочитайте условие и попробуйте его изменить: если скорость поезда в 4 раза меньше скорости вертолёта, значит скорость вертолёта больше скорости поезда в 4 раза.

  1. 80 · 4 = 320 (км/ч) – скорость вертолёта.
  2. 640 : 320 = 2 (ч) – время вертолёта в пути.

Ответ: 2 часа.

Задача.

С 14 до 16 часов грузовик ехал со скоростью 60 км/ч, а с 16 до 18 часов он увеличил скорость на 10 км/ч. Какое расстояние грузовик проехал с 16 до 18 часов?

Прочитайте условие задачи и ответьте на вопросы: сколько времени пройдёт с 14 до 16 ч? С 16 до 18 ч? Получили 2 ч в первом и во втором случае. Нас спрашивают о расстоянии, пройденном грузовиком с 16 до 18 ч. Время равно двум часам. Теперь найдём скорость: 60 + 10, т.к. скорость увеличилась на 10 км/ч с 16 до 18 часов.

Задачу решаем выражением (60 + 10) · 2 = 140 (км).

Ответ: 140 км проехал грузовик с 16 до 18 часов.

Задача.

Туристы в первый день прошли на байдарках 24 км со скоростью 6 км/ч. Во второй день – 30 км с той же скоростью. Сколько всего часов они плыли на байдарках?

Построим графическую модель.

?

Время — ? Время — ?

24 км 30 км

Скорость 6 км/ч Скорость 6 км/ч

I способ решения. (24 : 6) + (30 : 6) = 9 (ч)

II способ решения. (24 + 30) : 6 = 9 (ч).

Ответ: на байдарках плыли 9 часов.

Второй способ более рациональный.

Задача.

Самолёт может пролететь без заправки 8000 км. Сколько часов он может быть в полёте, если его скорость 950 км/ч?

Это задача на деление с остатком. Нужно понять смысл вопроса и правильно округлить ответ.

8000 : 950 = 8 (ч) (остаток 400 км).

Что означают числа в ответе? 400 км — это меньше часа полёта. Значит, в ответе будет 8 часов.

Ответ: 8 часов в полёте.

Ещё один вид задач на движение связан с течением реки. Здесь встретятся такие понятия: скорость течения реки /если по реке поплывёт плот, то он будет двигаться именно со скоростью течения/, собственная скорость лодки или катера /скорость в стоячей воде/, скорость по течению /собственная скорость = скорость течения реки/, скорость против течения /собственная скорость – скорость течения реки/.

Задача.

Скорость течения реки 4 км/ч. Туристы проплыли на плоту по течению реки 24 км. Сколько часов они были в пути? Какое расстояние туристы могут пройти на плоту за 8 ч?

В этой задаче средство передвижения – плот. Его скорость совпадает со скоростью течения реки, т.к. нет мотора и вёсел. Значит, находим время, используя зависимость: t = s : v.

24 : 4 = 6 (ч) – время в пути.

4 · 8 = 32 (км) – расстояние за 8 часов.

Ответ: 6 ч, 32 км.

Задача.

Расстояние между двумя пристанями теплоход прошёл за три часа, двигаясь со скоростью 32 км/ч. Обратно он прошёл это расстояние за 4 часа. С какой скоростью шёл теплоход в обратном направлении?

32 км/ч

? км/ч

Штрихами обозначено время: 3 час «туда», 4 часа «обратно».

  1. 32 · 3 = 96 (км) – всё расстояние.

Это легко находим по первому рисунку.

  1. 96 : 4 = 24 (км) – скорость на обратном пути.

Ответ: 24 км/ч.

Какие вопросы можно предложить ещё в этой задаче? Например: сколько времени был в пути теплоход? 4 + 3 = 7 (ч). На сколько изменилась скорость? 32 – 24 = 8 (км/ч). Сначала река «помогала» плыть теплоходу, а в обратную сторону «тормозила». Поэтому скорость течения реки можно найти так:

8 км/ч : 2 = 4 (км/ч). Зная скорость течения и скорость теплохода по течению, можно найти собственную скорость теплохода.

32 – 4 = 28 (км/ч) – собственная скорость /в стоячей воде/ теплохода.

Задача.

Из пункта А в одном направлении вышли две машины. Одна ехала со скоростью 60 км/ч, а другая – 90 км/ч. На сколько км одна машина обгонит другую за 3 часа?

Выполним чертёж к задаче.

90 км/ч

60 км/ч

А

1-й способ решения

  1. 60 · 3 = 180 (км) – первая машина за 3 часа.
  2. 90 · 3 = 270 км – вторая машина за 3 часа.
  3. 270 – 180 = 90 км – на столько км вторая машина обгонит первую за 3 часа.

2-й способ решения.

  1. 90 – 60 = 30 (км/ч) – скорость удаления.
  2. 30 · 3 = 90 (км) – удаление за три часа.

Ответ. 90 км.

Задача.

Андрей за 8 с пробегает 40 м. За какое время пробежит это расстояние Петя, если его скорость на 3 м/с больше, чем скорость Андрея?

Данные и искомые величины поместим в таблицу.

Время

Расстояние

Скорость

8 с

40 м

?

?

40 м

? на 3 м/с больше

Если известны расстояние и время, можно найти скорость Андрея.

40 : 8 = 5 (м/с) – скорость Андрея.

Скорость Андрея знаем, теперь найдём скорость Пети.

5 + 3 = 8 (м/с) – скорость Пети.

40 : 8 = 5 (с) – время Пети.

Ответ: время Пети 5 с.

Все задачи, предложенные выше, были решены учениками 6а и 6б классов.

В следующей главе предлагаются задачи для самостоятельного решения.

ЖЕЛАЕМ УДАЧИ!!!

3.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

Задача 1.

Скорость слабого ветра 5 м/с, скорость ураганного ветра в 7 раз больше, а скорость штормового ветра 1440 м/мин. На сколько скорость ураганного ветра больше скорости штормового?

(ответ: меньше на 11 м/с или на 660 м/мин)

Задача 2.

Поезд шёл 4 ч со скоростью 60 км/ч, 2 ч со скоростью 70 км/ч и 3 ч со скоростью 65 км/ч. Какое расстояние прошёл поезд?

(ответ: 575 км)

Задача 3.

Сможет ли поезд пройти 300 км за 7 ч, если он будет двигаться со скоростью 60 км/ч и при этом 2 ч тратить на остановки?

( ответ: времени хватит)

Задача 4.

Два велосипедиста выехали навстречу друг другу в 10 ч утра и встретились в 13 ч. Сколько времени был в пути каждый велосипедист? Какое расстояние было между ними первоначально, если один ехал со скоростью 16 км/ч, а другой 18 км/ч?

( ответ: 3ч; 102 км)

Задача 5.

Жираф пробежал 100 м за 7 с. Сможет ли он пробежать 1 км за 1 мин, если будет двигаться с той же скоростью?

(ответ: не сможет)

Задача 6.

Мотоциклист за 6 ч проехал 480 км. За сколько часов он проедет 240 км, двигаясь с той же скоростью?

( ответ: 3 ч)

Задача 7.

Один пешеход двигался со скорость 6 км/ч, другой – 4 км/ч. На сколько км больше пройдёт за 3 ч первый пешеход, чем второй?

( ответ: 6 км)

Задача 8.

Сколько минут понадобится второму пловцу, чтобы догнать первого, если расстояние между ними 70 м, скорость первого – 45 м/мин, а скорость второго – 80 м/мин?

( ответ: 2 мин)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Белошистая А.В. Обучение решению задач по математике: 4 класс – М.: «Экзамен», 2009.

2.Демидова Т.Е. Моя математика. 4 класс. М., «Баллас», 2005

3.Николаева Л.Н. 5000 заданий по математике. 4 класс– М.: «Экзамен», 2010.

ВЫВОДЫ

Эта книжка – помощница будет полезна учащимся 4 класса, учителям, родителям, желающим помочь своим детям научиться решать задачи «на движение».

В 6а и 6б классах МБОУ «СОШ № 15 п. Березайка» 31 ученик. Была решена 31 задача после подготовительной работы. Результат решения задач можно представить в виде диаграммы:

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *