Вольфрам альфа синтаксис

Как правильно вводить формулы на вольфрам альфа

  • Сложение : a+b
  • Вычитание : a-b
  • Умножение : a*b
  • Деление : a/b
  • Возведение в степень : a^b

Примеры

  • 314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
  • (a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).

Знаки сравнения

  • Меньше : <
  • Больше : >
  • Равно : = или ==
  • Меньше или равно : <=
  • Больше или равно : >=

Логические символы

  • И \wedge: &&
  • ИЛИ \vee: ||
  • НЕ \neg: !

Основные константы

  • Число \pi: Pi
  • Число e: E
  • Бесконечность \infty: Infinity или inf

Основные функции

\left(a=\operatorname{const} \right)

  • x^{a}: x^a

модуль x: abs(x)

Решение уравнений

Чтобы получить решение уравнения вида f(x)=0 достаточно записать в строке Wolfram|Alpha: f=0, при этом Вы получите некоторую дополнительную информацию, которая генерируется автоматически. Если же Вам необходимо только решение, то необходимо ввести: Solve=0, x].

Примеры

Если Ваше уравнение содержит несколько переменных, то запись: f=0 даст весьма разнообразный набор сведений, таких как решение в целых числах, частные производные функции f и т. д. Чтобы получить решение уравнения вида f(x,y,...,z)=0 по какой-либо одной из переменных, нужно написать в строке: Solve=0, j], где j — интересующая Вас переменная.

Примеры

  • Cos=0 или Solve=0,x] или Solve=0,y];
  • x^2+y^2-5=0 или Solve или Solve;
  • x+y+z+t+p+q=9.

Решение неравенств

Решение в Wolfram Alpha неравенств типа f(x)>0, f\left( x \right) \geqslant 0 полностью аналогично решению уравнения f(x)=0. Нужно написать в строке WolframAlpha: f>0 или f>=0 или Solve>0, x] или Solve>=0,x].

Примеры

  • Cos-1/2>0 или Solve-1/2>0,x];
  • x^2+5x+10>=0 или Solve.

Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f>0 или f>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve>0,j] или Solve>=0,j], где j — интересующая Вас переменная.

Примеры

  • Cos>0 или Solve>0,x] или Solve>0,y];
  • x^2+y^3-5<0 или Solve или Solve;
  • x+y+z+t+p+q>=9.

Решение различных систем уравнений, неравенств и уравнений

Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.

Примеры

  • x^3+y^3==9&&x+y=1;
  • x+y+z+p==1&&x+y-2z+3p=2&&x+y-p=-3;
  • Sin+Cos==Sqrt/4&&x+y²=1;
  • Log=0&&x+y+z<1.

Построение графиков функций

Сервис Wolfram Alpha поддерживает возможность построения графиков функций как вида f(x), так и вида f(x,y). Для того, чтобы построить график функции f(x) на отрезке x \in \left нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot,{x, a, b}]. Если Вы хотите, чтобы диапазон изменения ординаты y был конкретным, например y \in \left, нужно ввести: Plot,{x, a, b},{y, c, d}].

Примеры

  • Plot;
  • Plot;
  • Plot^x, {x,-Pi,E}];
  • Plot^x, {x,-Pi,E},{y,0,1}].

Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:Plot&&g&&h&&…&&t,{x, a, b}].

Примеры

  • Plot;
  • Plot&&Sin&&Sin&&Sin, {x,-5,5}].

Для того, чтобы построить график функции f(x,y) на прямоугольнике x \in \left,y \in \left, нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot,{x, a, b},{y, c, d}]. К сожалению, диапазон изменения аппликаты z пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции f(x,y) Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).

Примеры

  • Plot,{x,-1,-0.5},{y,-2,2}];
  • Plot.

Математический анализ

Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.

Пределы

Для того, чтобы найти предел последовательности \left\{ {{x_n}} \right\} нужно написать в строке Wolfram Alpha: Limit.

Примеры

  • Limit;
  • Limit.

Найти предел функции f(x) при x \to a можно совершенно аналогично: Limit, x -> a].

Примеры

  • Limit/x, x -> 0];
  • Limit.

Производные

Для того, чтобы найти производную функции f(x) нужно написать в строке WolframAlpha: D, x]. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: D, {x, n}]. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции f(x,y,z,...,t) напишите в окне гаджета: D, j], где j — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: D, {j, n}], где j означает тоже, что и Выше.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Примеры

  • D;
  • D;
  • D, x];
  • D, y],
  • D.

Интегралы

Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции f(x) нужно написать в строке WolframAlpha: Integrate f, x. Найти определенный интеграл \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} так же просто: Integrate, {x, a, b}] либо Integrate f(x), x=a..b.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Примеры

  • Integrate/x², x];
  • Integrate, x];
  • Integrate)/x, {x,1,100}];
  • Integrate/x^5, {x,1,Infinity}].

Дифференциальные уравнения и их системы

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения F(x,y,y^{/},y^{//},...,y^{(n)}) = 0 нужно написать в строке WolframAlpha: F (при k-й производной y ставится k штрихов).

Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F, y==A,y’==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y==S.

Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать: {f_1,f_2,…,f_n}, где f_1, f_2, …, f_n — дифференциальные уравнения, входящие в систему. К сожалению, решение задач Коши и краевых задач для систем дифференциальных уравнений пока-что не поддерживается.

Примеры

  • y»’+y»+y=Sin;
  • y»+y’+y=ArcSin;
  • y»+y+y^2=0;
  • y»=y, y==0, y’=4;
  • y+x*y’=x, y=2;
  • y»’+2y»-3y’+y=x, y=1, y=2, y’=2;
  • {x’+y’=2, x’-2y’=4}.

Ошибки при работе с системой

Система может допускать некоторые ошибки при решении сложных задач. К примеру, если попытаться решить неравенство \frac{3x^2-18x+24}{2x-2}-\frac{3x-12}{2x^2-6x+4}<0, для чего ввести запрос solve (3x^2-18x+24)/(2x-2)-(3x-12)/(2x^2-6x+4)<0, то Wolfram|Alpha выдаст в качестве ответа промежуток x \in (-\mathcal {1}; 2) \cup (3; 4), в котором будет присутствовать точка 1, обращающая оба знаменателя исходного неравенства в 0. Так что весь риск и вся ответственность при использовании Wolfram|Alpha ложится на Вас. Скорее всего, данные недочеты будут скоро исправлены.

Разложение на множители

Например, разложить на множители

x2/3 — 3x + 12

Запишем как

factor x^2/3 — 3x + 12

и нажимаем равно (=).

Например, разложить на слагаемые

Запишем как

Partial fraction expansion(1-x^2)/(x^3+x)

используются формулы разложения функций в ряд Тейлора (Taylor series) и ряд Маклорена (Maclaurin series) или

Series expansion at x=0

Разложить в ряд Лорана:

Laurent expansion z*cos(1/z) at z =0

Найти вычет функции в точке:

residue of (e^(1/(1-z^2 ))/((1-e^z )* sin⁡(z^2 ) )) at point z = 0

Чтобы упростить выражение f, наберите команду Simplify]

Комплексно сопряженное z*

11/30=1/3+1/30
parametric plot (3*cos t, sin t, 2t), t=0..2pi
interpolation polynomial {1,4,9,16}
Транспонировать матрицу: transpose {{8,2,-3,2},{-6,3,-2,1},{3,8,4,-8},{2,1,-6,2}}
Обратная матрица inverse {{a, b}, {c, d}}
Собственные числа (вектора) матрицы: eigenvalues( ( transpose{{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}})-1/67.42598*({{8,2,-3,2},{-6,3,-2,1},{3,8,4,-8},{2,1,-6,2}}*{{8,2,-3,2},{-6,3,-2,1},{3,8,4,-8},{2,1,-6,2}}))
Решение СЛАУ : {{8,2,-3,2},{-6,3,-2,1},{3,8,4,-8},{2,1,-6,2}}*{{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}}={{102},{-47},{-122},{-24}}
{{-9,5,2},{5,-6,3},{4,1,-5}}*{{x},{y},{z}}={{0},{0},{0}}
Интегральное преобразование Лапласа —- LT (находим изображение по оригиналу)
Обратное преобразование Лапласа — ILT (находим оригинал по изображению)
2<x<8, Integer solution
Система дифуравнений: (x’=2x-3y,y’=x-2y+2sint, x(0)=0,y(0)=0)
По модулю (-20)mod3

Разностные уравнения f(n+2)+2f(n+1)-8f(n)=0

Площадь фигуры ограниченной линиями: area between y=x^2-x+1, y=x^3+3x^2-2x-1

Обратная матрица существует для любой квадратной невырожденной матрицы. Матрица называется квадратной, если у неё одинаковое количество столбцов и строк. Квадратная матрица является вырожденной (matrix is singular), если ее определитель равен нулю.
Обычно, прежде чем приступать к вычислению обратной матрицы, следует проверить существует ли она вообще. Для этого нужно вычислить определитель данной матрицы, и если он не равен нулю, то обратная матрица для данной матрицы существует.
Однако, в Wolfram|Alpha в такой проверке нет необходимости. Wolfram|Alpha автоматически определяет является ли данная матрица вырожденной, и если она невырожденная, сразу вычисляет обратную матрицу. Если же данная матрица вырожденная, то Wolfram|Alpha выдает сообщение «matrix is singular», и вычисляет так называемую псевдообратную матрицу (о которой отдельный разговор, см. matrix 1‐inverse).
Для вычисления обратной матрицы в Wolfram|Alpha служит запрос inverse
Например, для квадратной матрицы 2х2 общего вида получаем
inverse {{a, b}, {c, d}}

Как видим, Wolfram|Alpha по запросу inverse вычисляет не только обратную матрицу, но также ее определитель (determinant), след (trace), характеристический многочлен (Characteristic polynomial), собственные значения (Eigenvalues) и собственные векторы (Eigenvectors).
Как известно, если умножить данную матрицу на ее обратную матрицу, то получим единичную матрицу. Это следует из определения обратной матрицы и используется для проверки правильно ли вычислена обратная матрица. Выполним такую проверку:
{{a, b}, {c, d}}.(inverse {{a, b}, {c, d}})

Почему в этом примере Wolfram|Alpha не упрощает выражение, выдавая его в общем виде? Наверное потому, что нетрудно убедиться (устно), что выполняя эту проверку, получаем единичную матрицу, как и должно быть. Чтобы получить этот окончательный результат при помощи Wolfram|Alpha, нужно прямо указать Wolfram|Alpha, что нужно упростить выражение (до конца). Для этого используем запрос simplify так, что запрос на проверку будет выглядеть так
simplify {{a, b}, {c, d}}.(inverse {{a, b}, {c, d}})
А вот и окончательный результат проверки:

Аналогично, для квадратной матрицы 3х3 общего вида получаем
inverse {{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}}

А вот проверка:
simplify {{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}}.(inverse {{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}})

Как уже было сказано выше, если данная матрица вырожденная, то при попытке вычислить для нее обратную матрицу Wolfram|Alpha это легко определяет — выдает сообщение «matrix is singular» и затем вычисляет псевдообратную матрицу:
inverse {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}

Наконец, числовой пример для матрицы 4х4:
inverse {{1, -1, 2, 1}, {-2, 1, -3, 0}, {3, -1, -2, 3}, {1, 2,- 1,- 3}}

И проверка:
simplify {{1, -1, 2, 1}, {-2, 1, -3, 0}, {3, -1, -2, 3}, {1, 2,- 1,- 3}}.( inverse {{1, -1, 2, 1}, {-2, 1, -3, 0}, {3, -1, -2, 3}, {1, 2,- 1,- 3}})

Основные операции

  • Сложение a+b: a+b
  • Вычитание a-b: a-b
  • Умножение a\cdot b: a*b
  • Деление \frac{a}{b}: a/b
  • Возведение в степень {{a}^{b}}: a^b

Примеры

  • 314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
  • (a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).

Знаки сравнения

  • Меньше <: <
  • Больше >: >
  • Равно =: = или ==
  • Меньше или равно \le : <=
  • Больше или равно \ge : >=

Логические символы

  • И \wedge: &&
  • ИЛИ \vee: ||
  • НЕ \neg: !

Основные константы

  • Число \pi: Pi
  • Число e: E
  • Бесконечность \infty: Infinity, inf или oo

Основные функции

\left(a=\operatorname{const} \right)

  • x^{a}: x^a

модуль x: abs(x)

Примечания

  • Wolfram Alpha(англ.)
  • Статья о Wolfram Alpha (wikipedia)
  • Обсуждение возможностей и применения Wolfram Alpha
  • Перевод чисел в различные системы счисления с помощью Wolfram Alpha
  • Использование Wolfram Alpha для проведения нестандартного урока математики в школе

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *