Производная функции

Определение производной

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует.

Пример:

Но нет необходимости каждый раз пользоваться этим определением для нахождения производной…

Работу нам упростит таблица производных и правила дифференцирования.

Геометрический смысл производной

Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник , то заметим, что есть .

А при стремлении к нулю, точка будет приближаться к точке и секущая «превратится» в касательную к графику функции в точке .

Поэтому геометрический смысл производной таков:

Производная в точке () равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке:

,

где – угол наклона касательной (проведенной к в т. )

Физический смысл производной

Если точка движется вдоль оси и ее координаты изменяются по закону , то мгновенная скорость точки:

,

а ускорение:

Пример:

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени .

Решение:

м/с

Ответ: 60.

Уравнение касательной

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производную определяют как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел есть. Функция, которая имеет конечную производную (в некоторой точке), называется дифференцируемой (в данной точке).

Процесс нахождения производной является дифференцированием. Обратный процесс — вычисление первообразной — интегрирование.

Изображение понятия производной:

Рассмотрим взятую наугад внутреннюю точку x0 области определения функции y = f(x).

Разность где x — тоже внутренняя точка области определения, является приращением аргумента в точке x0.

Разность является приращением функции в точке x0, соответствующим приращению и обозначают как .

Производной функции y = f(x) в точке x0 является предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел есть и конечен, то есть:

Основные свойства производных.

Если в точке x есть конечные производные функций v = v(x) и u = u(x), тогда в этой точке есть и производные суммы, разности, произведения и частного таких функций, при этом:

,

2. ,

3. ,

4. при ,

5. , .

1. Производная сложной функции.

2. Достаточное условие монотонности функции.

Если во всех точках интервала (a; b) выполняется неравенство:

то функция y = f(x) возрастает на этом интервале.

Если при то y = f(x) убывает на (a; b).

3. Необходимое условие экстремума функции.

Если точка x0 оказывается точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке есть производная , тогда она равняется 0:

4. Признак максимума функции.

Если функция y = f(x) определена на интервале (a; b), непрерывна в точке , у нее есть производная на интервалах , и на интервале и , на интервале , то точка x0 оказывается точкой максимума функции:

5. Признак минимума функции.

Если функция определена на интервале , непрерывна в точке , у нее есть производная на интервалах , и , на интервале и на интервале , то точка x0 оказывается точкой минимума функции:

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.

Чтобы вычислить самое большое и маленькое значения функции, которая имеет на отрезке конечное количество критических точек (точек из области определения, обращающих производную функции в ноль либо не существует), необходимо определить значения функции в каждой критической точке и на концах отрезка и выбрать самое большое и маленькое из полученных чисел.

Определение производной функции.

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция . Производной функции является такое число A, что функцию в окрестности можно представить как:

если A существует.

Определение производной функции через предел.

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция . Производной функции f в точке является предел, если он существует:

Общепринятые обозначения производной функции в точке .

Обратите внимание, что последнее зачастую обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Геометрический и физический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной прямой.

Если у функции есть конечная производная в точке , тогда в окрестности ее можно приблизить линейной функцией:

Функция является касательной к f в точке . Число называется угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции.

Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени . Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

В общем производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , т.е. скорость протекания процесса, который описан зависимостью

Данная статья рассматривает основные понятия, для решения задач с производными с одной переменной.

Определение 1

Пусть х – это аргумент функции f(x) и ∆x возьмем малое число, не равное 0. Значение ∆x называют приращением аргумента функции и читают как «дельта икс». На рисунке видно, что красная линия относится для изменений аргумента от значения х до x+∆x.

Определение 2 Пример 1

∆f(x)=∆sin(x2)=sin((x0+∆x)2)-sin(x02)==sin 22-sin 1.62=sin 4-sin 2.56≈-1.306

Так как приращение ∆f(x) отрицательное из отрезка , то это указывает на убывание функции. Обозначим это графически.

Определение производной функции в точке

Когда функция вида f(x) определена из промежутка (a;b), тогда x0 и x0+∆x считаются точками данного промежутка. Производная функции f(x) в точке x0 — это предел отношений приращения функции к приращению аргумента, когда ∆x→0. Данное определение записывается как f'(x0)=lim∆x→0∆f(x)∆x.

Если последний предел принимает конкретное значение, тогда существует конечная производная в точке. Когда предел бесконечен, то и сама производная бесконечна в этой точке. Когда предел не существует, то и производной в заданной точке не существует.

Функция f(x) дифференцируема в точке x0, если конечная производная в ней существует.

Когда функция вида f(x) дифференцируема в каждой точке из промежутка (a;b), тогда функцию называют дифференцируемой на заданном промежутке. Отсюда получаем, что любая точка х из промежутка (a;b) может принимать значения функции f'(x), иначе говоря, имеет место определение новой функции вида f'(x), которая называется производной функции f(x) из интервала (a;b).

Слишком сложно? Не парься, мы поможем разобраться и подарим скидку 10% на любую работу Опиши задание

Нахождение производной иначе называют дифференцированием

Из выше указанного получаем, что производная в точке является числом, а производная функции на промежутке является функцией. Когда необходимо вычислять производную, обязательно обращаемся к нахождению переделов.

Пример 2

Найти производную функции sin(2x) в точке x0=π6.

Решение

Для нахождения производной в точке необходимо начать с написания предела отношения приращения функции к приращению аргумента, применив тригонометрические формулы. Получаем, что

Для упрощения используем первый замечательный предел и в результате получаем, что

(sin(2×0))’=2·lim∆x→0sin(∆x)·cos(2×0+∆x)∆x==2·lim∆x→0sin(∆x)∆x·lim∆x→0cos(2×0+∆x)==2·1·cos(2×0+0)=2cos(2×0)=2cos2·π6==2cosπ3=2·12=1

Ответ: (sin(2×0))’=1.

Пример 3

Найти производную функции f(x)=3×3-1 из промежутка x∈133; +∞

Решение

Для поиска производной из интервала понимаем, что результат должен быть функцией. Тогда x0=x, где значение х возьмем любое число из заданного промежутка x∈133; +∞. Из определения видно, что производной считают отношение приращения функции на приращение аргумента, который стремится к нулю. Запишем

f'(x)=3×3-1’=lim∆x→0f(x+∆x)-f(x)∆x==lim∆x→03(3+∆x)3-1-3×3-1∆x=00

Получаем неопределенность в результате. Поэтому следует произвести домножение на сопряженное выражение для применения формул сокращенного умножения, приведения подобных слагаемых и последующим сокращением выражения. Тогда получим, что

Ответ: 3×3-1’=9x223x3-1 и x∈133; +∞

Для решения таких примеров необходимо учитывать то, что область определения функции f(x) может не совпадать с областью определения производной этой функции. Предыдущий пример имеет область определения вида Dfx:x∈[133;+∞), а производная определена на интервале Dfx:x∈133;+∞. То есть при дифференцировании функция f'(x) — это производная заданной функции f(x) из промежутка x∈D(f(x))D(f'(x)).

Получение формул таблиц производных основано на определении производной. Они достаточно удобны, что способствует скорейшему дифференцированию сложных выражений. Использование понятия производной применяют для доказательств правил дифференцирования.

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *