Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников позволяют доказать, что треугольники являются подобными, на основании 2-3 равенств (вместо 6 по определению).

В школьном курсе геометрии, как правило, изучают три признака подобия произвольных треугольников.

1-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по трём сторонам)

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Есть еще 4-й признак подобия треугольников —

( подобие треугольников по двум сторонам и наибольшему углу)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а наибольший угол одного равен наибольшему углу другого, то такие треугольники подобны.

Доказав, что треугольники подобны, можно использовать свойства подобных треугольников.

Для доказательства подобия прямоугольных треугольников используют другие признаки. Их мы запишем в следующий раз.

Подобие правильных и подобие равнобедренных треугольников рассмотрим позже.

Признаки подобия треугольников широко используются при решении задач как в курсе планиметрии, так и в курсе стереометрии. Например, на основании подобия прямоугольных треугольников доказывается свойство биссектрисы треугольника.

Планиметрия

6. Подобие фигур

6.4. Признаки подобия треугольников

Теорема 1 (первый признак)

Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Дано: и , и .
Требуется доказать: .

Доказательство:

Отложим и проведем ; (по лемме). По стороне и двум углам (, , по условию и как соответственные при параллельных прямых и и секущей , поэтому ). Отсюда .

Теорема 2 (второй признак)

Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, лежащие между ними, равны.

Дано: и , ,
Требуется доказать : .

Доказательство:

Теорема 3 (третий признак)

Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.

Дано: и ,
Требуется доказать : .

Доказательство:

Сформулируем признаки подобия прямоугольных треугольников.

Следствие

Два прямоугольных треугольника подобны:
1) если они содержат по равному острому углу;
2) если катеты одного пропорциональны катетам другого;
3) если гипотенуза и катет одного пропорциональны гипотенузе и катету другого.

Доказательство:

Два первых признака сразу следуют соответственно из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует из второго признака и теоремы Пифагора.

Следствие доказано

Подобные треугольники

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Подобные треугольники

Рассмотрим два треугольника KLM и TRP (рис.1) и введём следующие обозначения.

Рис.1

Обозначим

a1 , b1 , c1

длины сторон треугольника KLM, расположенные в порядке возрастания.

Обозначим

a2 , b2 , c2

длины сторон треугольника TRP, расположенные в порядке возрастания.

Переобозначим вершины треугольников KLM и TRP так, как показано на рисунке 2.

Рис.2

На рисунке 2 треугольник KLM обозначается как треугольник A1B1C1, а треугольник TRP обозначается как треугольник A2B2C2.

Определение 1. В треугольниках A1B1C1 и A2B2C2, изображённых на рисунке 2,

  • вершины A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2 называют сходственными вершинами,
  • стороны A1B1 и A2B2, A1C1 и A2C2, B1C1 и B2C2 называют сходственными сторонами,
  • углы A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2 называют сходственными углами

Определение 2. Треугольники A1B1C1 и A2B2C2 называют подобными треугольниками, если их сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Другими словами, треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны, если, во-первых,

а, во-вторых, существует положительное число k, такое, что справедливы равенства:

a1 = k a2 , b1 = k b2 , c1 = k c2 . (1)

Определение 3. В случае, когда треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны, число k, заданное формулами (1), называют коэффициентом подобия треугольников A1B1C1 и A2B2C2 .

Признаки подобия треугольников

Название признака Рисунок Формулировка признака

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по двум углам

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Формулировка признака подобия:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по двум углам

Формулировка признака подобия:

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Формулировка признака подобия:

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Название признака Рисунок Формулировка признака

Признак подобияпрямоугольных треугольников по двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Следствие 1. Прямая, пересекающая треугольник и параллельная стороне треугольника, отсекает от этого треугольника подобный треугольник (рис. 3).

Рис.3

Следствие 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (рис. 4)

Рис.4

Теоретичесикие шпаргалки по элементарной геометрии для занятий с репетитором по математике. Базовый школьный уровень. Свойства элементов треугольника. В помощь для решению задач по всему курсу планиметрии. Для тренировки решения задач С4 на ЕГЭ по математике.

1) Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть

2) Формулы площади треугольника

,

где (Формула Герона)

, где r- вписанной окружности

, где R — радиус описанной окружности

3) Подобие треугольников

Определение: два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, то есть
и

Обозначение:

4) Признаки подобия двух треугольников

1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Коротко: если , то

2-й признак:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны

Коротко: если и , то

3-й признак:если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть

Коротко: если , то

5) Свойства подобных треугольников

если , то

, где

и — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам)

и — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам)

и — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)

6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого угла

Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:

7) Свойство медиан в треугольнике.

Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин. То есть

Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями),

То есть

Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть

8) Свойство биссектрис в треугольнике
Теорема 1: Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника.

То есть

Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:

Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну.

10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике
Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.

То есть

11) Средняя линия треугольника

Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.

То есть и

12) Теорема синусов и теорема косинусов

Теорема синусов: Cтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и каждое отношение стороны к синусу равно диаметру описанной около треугольника окружности.

То есть

Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равне сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на синус угла между ними, то есть

13) Теорема Менелая
Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единице

То есть

Комментарий репетитора по математике: несправедливо выброшенная теорема из школьного курса геометрии. Рекомендую репетиторам включить ее в подготовку, по крайней мере к вузовским олимпиадам и вступительным экзаменам по математике в МГУ. В программу ЕГЭ теорема Менелая не входит, но несколько типов задач без нее решаются очень сложно.

14) Теорема Чевы

Теорема:если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.

То есть

Колпаков А.Н. Репетитор по математике.

Метки: Геометрия, Справочник репетитора, Ученикам

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *