Площадь треугольника 4

Содержание

Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей треугольников.

Таблица с формулами площади треугольника (в конце страницы)

 (в конце страницы)

— Вычисления (показано) (скрыто)

— примечания (показано) (скрыто)

Для всех треугольников

1

Площадь треугольника по основанию и высоте

Площадь треугольника по основанию и высоте

Сторона a
Высота h

Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.

2

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Сторона a
Сторона b
Угол α° между сторонами a и b

Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.

3

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Сторона a
Сторона b
Сторона c
Радиус r вписанной окружности

4

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Сторона a
Сторона b
Сторона c
Радиус R описанной окружности

5

Площадь треугольника по формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a
Сторона b
Сторона c

6

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Сторона a
Угол β°
Угол α°

Для равнобедренных треугольников

7

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию

Сторона a (a = b)
Сторона c

8

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)
Угол α° между боковыми сторонами

9

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)
Основание треугольника c
Угол β° между основанием и стороной

10

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Основание треугольника c
Угол α° между боковыми сторонами

Для равносторонних треугольников

11

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию

Основание треугольника c
Высота h

12

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Сторона a (a = b = c)

13

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Высота h

14

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Радиус r вписанной окружности

15

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Радиус R описанной окружности

Для прямоугольных треугольников

16

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Катет a
Катет b

17

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Сторона c
Угол α

18

Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол

Сторона b
Угол α

19

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Отрезок d
Отрезок e

20

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность

Сторона с
Радиус r

21

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a
Сторона b
Сторона c

Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.

В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.

Таблица с формулами площади треугольника

исходные данные
(активная ссылка для перехода к калькулятору)
эскиз формула
Для всех треугольников
1 основание и высота
2 две стороны и угол между ними
3 радиус вписанной окружности и три стороны
4 радиус описанной окружности и три стороны
5 три стороны
(по формуле Герона)

где 
6 сторона и два прилежащих угла
Для равнобедренных треугольников
7 боковые стороны и основание
8 боковые стороны и угол между ними
9 боковые стороны, основание и угол между боковыми сторонами и основанием
10 основание и угол между боковыми сторонами
11 высота и основание
Для равносторонних треугольников
12 сторона
13 высота
14 радиус вписанной окружности
15 радиусу описанной окружности
Для прямоугольных треугольников
16 два катета
17 гипотенуза и угол
18 катет и угол
19 отрезки, на которые делит гипотенузу вписанная окружность
20 гипотенуза и радиус вписанной окружности
21 три стороны
(по формуле Герона)

где  

Определения

Площадь треугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Дано:

?АВС

?А1В1С1

А1

Доказать:

Доказательство:

1) Наложим ?АВС на ? А1В1С1 так, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной А, а стороны А1В1 и А1С1 наложились соответственно на лучи АВ и АС

2) Рассмотрим ?АВС и ?АВ1С

СН — общая высота =>

3) Рассмотрим ?АВ1С и ?АВ1С1

В1Н1 — общая высота =>

4) . =>

Что и требовалось доказать.

Пример 2

Пусть а — основание, н — высота, S — площадь треугольника. Найдите:

1) S, если а=7см, н=11см

2) н, если S=37,8см2, а=14см

Решение

1) S=•а•н

а=7см => S=•7см•11см=38,5см2

н=11см

2) н=

S=37,8см2 => н= =5,4см

а=14см

Ответ: 1) S=38,5см2

2) н=5,4см

Пример 3

Найдите площадь треугольника ?АВС, если ВС=3см,

В=450

Дано:

?АВС ВС=3см

АВ=18см

В=450

Найти: S?АВС Решение:

1) S?АВС=АВ•ВС•SinВ

ВС=3см

АВ=18см => S?АВС=•18см•3см•==27см2

Sin450=

Ответ: S?АВС=27см2

Пример 4

Площадь треугольника ?АВС равна 60см2. Найдите сторону АВ, если АС=15см,

А=300

Дано:

?АВС

S?АВС=60см2

АС=15см

А=300

Найти: АВ

Решение: 1) S?АВС=АВ•АС•SinА => АВ=

2) АВ=

S?АВС=60см2 => АВ=

АС=15см

А=300

Ответ: АВ=16см

Виды треугольников

По углам По сторонам

Остроугольный Прямоугольный Равнобедренный Равносторонний

Тупоугольный

— остроугольный — все углы острые;

— тупоугольный — один угол тупой, два других острые;

— прямоугольный — один из углов прямой, два других острые;

— равнобедренный — две стороны равны;

— равносторонний — все стороны равны.

Свойства равнобедренного треугольника.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием равнобедренного треугольника.

АВ = ВС => ?АВС — равнобедренный

АВ, ВС — боковые стороны

АС — основание

I. В равнобедренном треугольнике углы при основании ровны.

Дано:

?АВС — равнобедренный

АВ, ВС — боковые стороны

АС — основание

С

Доказательство:

1) Т.к. ?АВС — равнобедренный => АВ = ВС

2) Проведём ВD — биссектрису ?АВС

3) Т.к. ВD — биссектрису ?АВС =>

4) Рассмотрим ?АВD и ?DВС

С

ВD — общая

Что и требовалось доказать.

II. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основаниюявляется, является медианой и высотой.

Дано:

?АВС — равнобедренный

АС — основание

ВD — биссектриса

Доказать: 1) BD — медиана (AD = DC)

2) BD — высота (BDАС)

Доказательство:

1) Т.к. ?АВС — равнобедренный => АВ = АС

3) Рассмотрим ?АВD и ?DВС

ВD — общая AD = DC

4) Т.к. AD = DC => D — середина АС => BD — медиана

4=900 => BDАС => BD — высота

4=1800 (смежн.) Что и требовалось доказать.

Следствия

1) Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

2) Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Пример 5

В равнобедренном треугольнике ?АВС с основанием АС проведена биссектриса ВD.

Доказать, что ВD — медиана и высота ?АВС.

Дано:

?АВС — равнобедренный

АС — основание

ВD — биссектриса

Доказать: 1) ВD — медиана

2) ВD — высота

Доказательство:

1) Т.к. ?АВС — равнобедренный => АВ=ВС

3) Рассмотрим ?АВD и ?DВС

4; AD=DC

ВD — общая

4) Т.к. AD=DC => D — середина AC => BD — медиана

4=900 => ВDAC=>BD — высота

4=1800(как смежные)

Что и требовалось доказать.

Пример 6

В равнобедренном треугольнике ?DEK c основанием DK отрезок ЕF — биссектриса, DK =16см, DEF=430. Найдите KF, DEК, EFD.

Дано:

?DEK — равнобедренный

EF — биссектриса

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилось из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

а

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если параметры переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения

  • квадратный миллиметр (мм2);
  • квадратный сантиметр (см2);
  • квадратный дециметр (дм2);
  • квадратный метр (м2);
  • квадратный километр (км2);
  • гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Общая формула

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

S = 0,5 * a * b⋅sin(α) , где a, b — стороны, α — угол между ними.

треугольник с углом в основании

Площадь треугольника через основание и высоту.

S = 0,5 * a * h, где a — основание, h — высота.

треугольник с отмеченной высотой

Площадь треугольника через описанную окружность и стороны.

S = (a * b * c) : (4 * R), где a, b, c — стороны, R — радиус описанной окружности.

радиус описанной окружности

Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

S = r * (a + b + c) : 2, где a, b, c — стороны, r — радиус вписанной окружности.

 радиус вписанной окружности

Если учитывать, что (a + b + c) : 2 — это способ поиска полупериметра. Тогда формулу можно записать следующим образом:

S = r * p, где p — полупериметр.

Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

S = a2 : 2 * (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β)), где a — сторона, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол.

треугольник с двумя отмеченными углами

Формула Герона для вычисления площади треугольника.

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

S = √ p * (p − a) * (p − b) * (p − c)​, где a, b, c — стороны, p — полупериметр, который можно найти по формуле: p = (a + b + c) : 2

треугольник со сторонами a, b, c

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам.

S = 0,5 * a * b, где a, b — стороны.

треугольник с углом 90°

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу.

S = 0,25 * c2 * sin(2α), где c — гипотенуза, α — любой из прилегающих острых углов.

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу.

S = 0,5 * a2 * tg(α), где a — катет, α — прилежащий угол.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и по радиусу вписанной окружности.

S = r * (r + c), где c — гипотенуза, r — радиус вписанной окружности.

радиус вписанной окружности в треугольник

Площадь треугольника вписанного в окружность.

S = c1 * c2, где c1, c2 — части гипотенузы.

Площадь треугольника вписанного в окружность

Площадь прямого треугольника по формуле Герона.

S = (p − a) * (p − b), где a, b — катеты, p — полупериметр, который рассчитывается по формуле p = (a + b + c) : 2.

Площадь прямого треугольника по формуле Герона

Для равнобедренного треугольника

Поиск площади через основание и сторону.

S = b : 4 * √ 4 * a2 − b2, где a — боковая сторона, b — основание.

площадь через основание и сторону

Вычисление площади через основание и угол.

S = 0,5 * a * b * sin(α), где a — боковая сторона, b — основание, α — угол между основанием и стороной.

площадь через основание и угол

Вычисление площади через основание и высоту.

S = 0,5 * b * h, где b — основание, h — высота, проведенная к основанию.

площадь через основание и высоту

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними.

S = 0,5 * a2 * sin(α), где a — боковая сторона, α — угол между боковыми сторонами.

площадь через боковые стороны и угол между ними

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами.

S = b2 : (4 * tgα/2), где b — основание, α — угол между боковыми сторонами.

площадь через основание и угол между боковыми сторонами

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности.

S = (3 * √ 3 * R2) : 4, где R — радиус описанной окружности.

радиус описанной окружности равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности.

S = 3 * √ 3 * r2, где r — радиус вписанной окружности.

радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через сторону.

S = (√ 3 * a2) : 4, где a — сторона.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту.

S = h2 : √ 3, где h — высота.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

таблица формул для определения площади треугольника

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики. Лето — прекрасное время, чтобы заниматься ей с удовольствием, в комфортном темпе, без контрольных и оценок за четверть, валяясь дома на полу или за городом на травке.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *