Площадь трапеции

Содержание

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу. Высотой трапеции называют линию, перпендикулярную основаниями, для удобства ее часто проводят из тупого угла трапеции на большее основание. Средняя линия трапеции – это линия, которая параллельна основаниям, и разделяет боковые стороны ровно пополам. Среднюю линию трапеции можно найти средним арифметическим оснований – сложив их и разделив на два.

Площадь трапеции в самом простом виде – это произведение средней линии на высоту, или если раскрыть формулу средней линии, то произведение полусуммы оснований на высоту.

Доказательством этой формулы будет служить представление площади трапеции, как суммы площадей двух треугольников полученных при проведении диагонали.

Площади этих треугольников будут равны соответственно и (для того, чтобы нарисовать высоту во втором треугольнике, необходимо будет продлить основание b). Площадь трапеции будет равна сумме полученных выражений, где мы вынесем высоту за скобку, и получим искомую формулу:

Вывести формулу, для того чтобы вычислить площадь трапеции через стороны, можно с помощью метода подстановки.

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними считается условным делением трапеции на четыре треугольника, точно также как и площадь любого произвольного четырехугольника.

Площадь равнобедренной трапеции можно найти еще одним способом, если даны угол при основании и радиус вписанной окружности. Дело в том, что центр вписанной окружности, откуда берет свое начало радиус, находится точно в центре трапеции, таким образом, приравнивая высоту и диаметр окружности (либо удвоенный радиус). Также одно из свойств трапеции, описанной вокруг окружности – это равенство суммы оснований и суммы боковых сторон, значит, мы сможем найти среднюю линию, зная боковые стороны. Проведя высоту, из прямоугольного треугольника получаем боковую сторону и среднюю линию
Тогда площадь трапеции равна

Площадь трапеции можно найти множеством способов. Для вас мы собрали все возможные варианты нахождения площади. Для вашего удобства для каждой формулы создан калькулятор, который поможет рассчитать площадь трапеции по известным данным. От вас требуется только подставить значения и в режиме онлайн мгновенно получить ответ. Формулы и калькуляторы сгруппированы по типам трапеций — обычная, равнобедренная (равнобокая), прямоугольная.

Площадь трапеции через высоту и основания

{S= \dfrac{1}{2} (a+b) \cdot h}

Формула для нахождения площади трапеции через высоту и основания: {S= \dfrac{1}{2} (a+b) \cdot h}, где a, b — основания трапеции, h — высота трапеции.

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

{S= m \cdot h}

Формула для нахождения площади трапеции через высоту и среднюю линию: {S= m \cdot h}, где m — средняя линия трапеции, h — высота трапеции.

Площадь трапеции через 4 стороны

формула ниже

Формула для нахождения площади трапеции через четыре стороны: {S=\dfrac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\Big(\dfrac{(a-b)^2+c^2-d^2}{2 (a-b)}\Big)^2}}, где a, b — основания трапеции, c, d — боковые стороны трапеции.

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

{S= \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \cdot sin(\alpha)}

{S= \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \cdot sin(\beta)}

Формула для нахождения площади трапеции через диагонали и угол между ними: {S= \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \cdot sin(\alpha)}, где d1, d2 — диагонали трапеции, α — угол между диагоналями. Вместо угла α можно использовать угол β в соответствии с тем, что углы смежные и по формуле приведения для смежных уголов {sin(\alpha) = sin(180\degree — \alpha) = sin(\beta)}

Площадь трапеции через основания и углы при основании

формула ниже

Формула для нахождения площади трапеции через основания и углы при основании: {S=\dfrac{(b^2-a^2)}{2} \cdot \dfrac{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}{sin(\alpha+\beta)}}, где a, b — основания трапеции, α, β — углы при основании трапеции.

Площадь трапеции через площади треугольников

{S=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2}

Формула для нахождения площади трапеции через площади треугольников: {S=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2}, где S1, S2 — площади треугольников.

Площадь трапеции через диагонали и высоту

{S=\dfrac{\sqrt{d_2^2-h^2}+\sqrt{d_1^2-h^2}}{2} \cdot h}

Формула для нахождения площади трапеции через диагонали и высоту: {S=\dfrac{\sqrt{d_2^2-h^2}+\sqrt{d_1^2-h^2}}{2} \cdot h}, где d1, d2 — диагонали трапеции, h — высота трапеции.

Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания

{S= (a+b) \cdot r}

Формула для нахождения площади трапеции через радиус вписанной окружности и основания: {S=(a+b)\cdot r}, где a, b — основания трапеции, r — радиус вписанной окружности.

Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали

{S= \dfrac{1}{2} d_1 \cdot d_2}

Формула для нахождения площади трапеции через перпендикулярные диагонали: {S=\dfrac{1}{2}d_1 \cdot d_2}, где d1, d2 — диагонали трапеции (перпендикулярные).

Площадь равнобедренной трапеции через ее основания и высоту

{S= \dfrac{a+b}{2} \cdot h}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через ее основания и высоту: {S= \dfrac{a+b}{2} \cdot h}, где a, b — основания трапеции, h — высота трапеции.

Площадь равнобедренной трапеции через 3 ее стороны (формула Брахмагупты)

{S= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2}}

{p=\dfrac{a+b+2c}{2}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через 3 стороны (формула Брахмагупты): {S= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2}}, где a, b — основания трапеции, c — боковая сторона, p — полупериметр трапеции. {p=\dfrac{a+b+2c}{2}}

Площадь равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

{S= c \cdot sin\alpha \cdot (a+c\cdot cos\alpha)}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании: {S= c \cdot sin\alpha \cdot (a+c\cdot cos\alpha)}, где a — верхнее основание трапеции, c — боковая сторона трапеции, α — угол при нижнем основании.

Площадь равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

{S= c \cdot sin\alpha \cdot (b-c\cdot cos\alpha)}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании: {S= c \cdot sin\alpha \cdot (b-c\cdot cos\alpha)}, где b — нижнее основание трапеции, c — боковая сторона трапеции, α — угол при нижнем основании.

Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол

{S= \dfrac{1}{2} (b^2-a^2) \cdot tg\alpha}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через основания и угол: {S= \dfrac{1}{2} (b^2-a^2) \cdot tg\alpha}, где a, b — основания трапеции, α — угол при нижнем основании.

Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

{S= \dfrac{1}{2} d^2 \cdot sin\alpha}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между диагоналями: {S= \dfrac{1}{2} d^2 \cdot sin\alpha}, где d — диагональ трапеции, α — угол между диагоналями.

Площадь равнобедренной трапеции через боковую сторону, среднюю линию и угол при основании

{S= m\cdot c\cdot sin \alpha}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через боковую сторону, среднюю линию и угол при основании: {S= m \cdot c \cdot sin\alpha}, где m — средняя линия трапеции, c — боковая сторона трапеции, α — угол при основании.

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании

{S= \dfrac{4r^2}{sin\alpha}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании: {S= \dfrac{4r^2}{sin\alpha}}, где r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании.

Площадь равнобедренной трапеции через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании

Данная формула справедлива только для трапеций, в которые можно вписать окружность!

{S= \dfrac{h^2}{sin\alpha}}

{S= \dfrac{D^2}{sin\alpha}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании:

{S= \dfrac{h^2}{sin\alpha}}, где h — высота трапеции, α — угол при основании.

{S= \dfrac{D^2}{sin\alpha}}, где D — диаметр вписанной окружности, α — угол при основании.

Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол при основании

Данная формула справедлива только для трапеций, в которые можно вписать окружность!

{S= \dfrac{ab}{sin\alpha}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через основания и угол при основании: {S= \dfrac{ab}{sin\alpha}}, где a, b — основания трапеции, α — угол при основании.

Площадь равнобедренной трапеции через основания и радиус вписанной окружности

Данная формула справедлива только для трапеций, в которые можно вписать окружность!

{S= r(a+b)}

{r=\dfrac{\sqrt{ab}}{2}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через основания и радиус вписанной окружности:

{S= r(a+b)}

{r=\dfrac{\sqrt{ab}}{2}},

где a, b — основания трапеции, r — радиус вписанной окружности.

Площадь равнобедренной трапеции через ее основания

Данная формула справедлива только для трапеций, в которые можно вписать окружность!

{S= \sqrt{ab}\cdot \dfrac{a+b}{2}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через ее основания: {S= \sqrt{ab}\cdot \dfrac{a+b}{2}}, где a, b — основания трапеции.

Площадь равнобедренной трапеции через ее основания и боковую сторону

Данная формула справедлива только для трапеций, в которые можно вписать окружность!

{S= c \cdot \sqrt{ab}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через ее основания и боковую сторону: {S= c \cdot \sqrt{ab}}, где a, b — основания трапеции, c — боковая сторона трапеции.

Площадь равнобедренной трапеции через ее основания и среднюю линию

Данная формула справедлива только для трапеций, в которые можно вписать окружность!

См. также

Площадь квадрата Площадь прямоугольника Площадь параллелограмма Площадь трапеции Площадь ромба Площадь треугольника Площадь треугольника формула Герона Площадь треугольника через углы Площадь прямоугольного треугольника Площадь равнобедренного треугольника Площадь равностороннего треугольника Площадь круга Площадь сектора круга Площадь сегмента круга Площадь кольца Площадь сектора кольца Площадь поверхности куба Площадь поверхности конуса Площадь поверхности усеченного конуса Площадь поверхности сферы Площадь поверхности шарового слоя Площадь поверхности шарового сектора Площадь поверхности шарового сегмента Площадь поверхности цилиндра Площадь правильного многоугольника Площадь правильного пятиугольника Площадь правильного шестиугольника Площадь поверхности параллелепипеда Площадь правильной треугольной пирамиды Площадь правильной четырехугольной пирамиды Площадь правильной шестиугольной пирамиды Боковая поверхность правильной пирамиды Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды Площадь полной поверхности правильной пирамиды через высоту Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через высоту Площадь правильной треугольной призмы Площадь правильной четырехугольной призмы Площадь правильной пятиугольной призмы Площадь правильной шестиугольной призмы Боковая площадь прямой призмы площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы площадь боковой поверхности правильной пятиугольной призмы площадь боковой поверхности шестиугольной призмы

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *