Найдите периметр трапеции

Трапе́ция (от др. -греч. τράπέζιου — «столик» ; τράπεζα — «стол, еда» ) — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого произвольная пара противолежащих сторон параллельна, в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции

Периметр произвольной трапеции

Периметр произвольной трапеции, в которой AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, имеет вид:

\

где:
P — периметр трапеции
a, b, c, d — стороны трапеции

Периметр равнобокой трапеции

Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.

Периметр произвольной трапеции, в которой AB=CD=a, BC=b, AD=c, имеет вид:

\

где:
P — периметр трапеции
a, b, c, d — стороны трапеции

Признаки равнобедренной трапеции

Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий:

1. Углы при основе равны: ∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

2. Диагонали равны: AC = BD

3. Одинаковые углы между диагоналями и основаниями: ∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

4. Сумма противоположных углов равна 180°: ∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

5. Вокруг трапеции можно описати окружность

Также можно найти периметр трапеции, не зная длин оснований, но имея среднюю линию m. Средняя линия по определению представляет собой полусумму оснований трапеции, поэтому умножив ее на два, можно подставить ее вместо оснований в формулу периметра: \( P = 2 \cdot m + c + d \).

Периметр трапеции часто нужно определить в задачах по геометрии. Периметр трапеции определяется также как и периметр любой другой фигуры на плоскости:

Периметр плоской фигуры — есть сумма всех сторон фигуры.

Периметр трапеции Периметр трапеции — есть сумма всех сторон трапеции.

Чему равен периметр равнобедренной трапеции — то же самое — сумме всех ее сторон.

Найти периметр трапеции в задачах ЕГЭ

В задачах ЕГЭ вы найдете периметр трапеции. Например,

Задача 1

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 60. Найдите длину ее средней линии.

Решение:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противолежащих сторон равны:

АD+CD=DC+AB=PABCD /2,

Где PABCD — периметр трапеции. В самом деле PABCD =AD+CB+DC+AB=2(DC+AB), а значит, DC+AB=PABCD /2

Средняя линия трапеции — это полусумма ее оснований, то есть MN=(DC+AB)/2=(PABCD /2)/2=PABCD /4 = 60/4=15 .

Ответ: 15.

Задача 2

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 44. Найдите длину ее средней линии.

Решение. Рассуждаем аналогично и получаем MN=(DC+AB)/2=(PABCD /2)/2=PABCD /4 = 44/4=11.

Ответ: 11.

То есть мы сами с вами вывели лайфхак для решения этой задачи:

Лайфхак 1 Если в трапецию вписана окружность, и дан периметр трапеции, то для того чтобы найти среднюю линию трапеции, нужно периметр разделить на 4.

И обратный лайфхак:

Лайфхак 2 Если в трапецию можно вписать окружность, и дана средняя линия трапеции (l), то формула периметра трапеции P:

P=4l

Применим наш лайфхак 1 к решению следующей задачи?

Задача 3

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 30. Найдите длину ее средней линии.

Вычисление Делим периметр на 4 и получаем среднюю линию трапеции: 30/4=7,5.

Ответ: 7,5.

Задача 4

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 37, найдите радиус окружности.

Решение. Периметр трапеции равен: АD+DC+CB+AB=PABCD (1)

В трапецию можно вписать окружность, если суммы длин противоположных сторон равны. То есть, имеем: AD+CB=DC+AB (2)

С учетом (2) равенство (1) можно записать в виде: 2(АD+CB)=PABCD (3)

Теперь давайте посмотрим на вот такой рисунок:

Видно, что сторона AD=2R, где R — радиус окружности.

Тогда, AD+CB=2R+37, тогда равенство (3): 2(2R+37)=100.

Решаем уравнение, относительно R:

4R+74=100

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *