Как построить гиперболу

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое обратная зависимость, и с чем ее едят. Если ты уверен, что знаешь все об обратной зависимости, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему «Обратная зависимость».

Также очень советую научиться сперва строить график квадратичной функции, так как есть некоторые общие принципы для построения графика квадратичной и обратной зависимостей.

Начнем с небольшой проверки:

Что такое обратная пропорциональность?

Как выглядит функция, описывающая обратную зависимость в общем виде (формула)?

Как называется график такой функции?

Какие коэффициенты влияют на график функции, и как?

Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, перейди по .

Итак, ты уже умеешь обращаться с обратной зависимостью, анализировать ее график и строить график по точкам.

Напоминаю: обратная зависимость в общем виде задается функцией

, .

Давай вкратце вспомним, что делают коэффициенты.

– отвечает за «пологость» и направление графика: чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента влияет на то, в каких четвертях расположен график: если , то ветви гиперболы расположены в и четвертях; если , то во и .

Дальше – число . Если внимательно посмотреть на знаменатель, видим, что – это такое число, которому не может равняться . То есть – это вертикальная асимптота, то есть вертикаль, к которой стремится график (на рисунке выше такой вертикалью является ось ):

ОК, осталось еще одно число: . C ним все еще проще: если у нас уже есть гипербола (например, как на рисунке выше), а мы хотим гиперболу , то получается, что ордината каждой точки графика должны стать больше на , то есть нужно просто весь график сместить вверх на :

Как видим, теперь график стремится по горизонтали к прямой вместо оси , как было раньше. Такая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Теперь давай научимся строить простейшую гиперболу – .

Достаточно помнить, как она выглядит, и тогда нам хватит всего трех-четырех точек.

Например, построим гиперболу .

Составим таблицу из точек, которые принадлежат одной ветке (например, правой):

Отмечаем точки на рисунке:

Проводим через них плавную линию, которая краями приближается к осям:

Это одна ветвь гиперболы. Проверить правильность построения этой кривой можно так: она должна быть симметрична относительно биссектрисы угла между осями координат:

Отлично, осталось вспомнить, что собой представляет вторая ветвь? Это точно такая же кривая, расположенная симметрично относительно начала координат. То есть как будто оси теперь направлены не снизу вверх и слева направо, а наоборот: сверху вниз и справа налево, и мы рисуем ту же самую ветвь гиперболы. Вот:

Еще один полезный факт. Посмотри на красные точки на графике. Видно, что их абсцисса совпадает с ординатой. Так вот, эти абсцисса с ординатой равны для правой ветви гиперболы, и для левой. Для функций, у которых – точный квадрат (например, , или ), эту точку, относительно которой ветвь гиперболы симметрична, будет очень легко поставить. В этом случае достаточно даже трех точек, чтобы построить график.

Например, построим график функции . Как и в прошлый раз, начнем с правой ветви. Точка симметрии: . Выберем еще одну точку, например, , . У третьей точки координаты будут наоборот: , . Рисуем:

И теперь симметрично отображаем эту ветвь в третью координатную четверть:

Теперь выясним, что будет, если ? Очень просто: если есть график функции с таким же по величине, но положительным , то нужно просто отразитьегоотносительно оси , то есть правая ветвь теперь будет ниже оси (в четверти), а левая – выше (в четверти). Принцип построения же останется прежним:

Ну что же, осталось объединить все то, что мы уже выяснили.

Итак, вот правило построения графика функции :

0) Определяем коэффициенты , и .

1) Строим график функции (сначала по 3-4 точкам правую ветвь, потом симметрично рисуем левую ветвь).

2) График должен быть сдвинут вправо на . Но проще двигать не график, а оси, так что ось сдвигаем влево на .

3) График должен быть сдвинут вверх на . Но проще двигать не график, а оси, так что ось сдвигаем вниз на .

4) Старые оси (прямые, которые служили нам осями в пункте 1) оставляем в виде пунктирных линий. Это теперь просто вертикальная и горизонтальная асимптоты.

Примеры:

6. .

Решения:

1. Пойдем по порядку по пунктам.

0) ; ;

1) :

2) , 3) и 4):

2. Сначала преобразуем выражение:

Теперь ясно, что ; ; :

3. .

; ; :

4. .

, , . Дополнительное условие означает, что на графике появится выколотая точка c абсциссой :

5. . Ты уже, наверное, догадался, что вместо того, чтобы смотреть на эту функцию квадратными глазами и говорить «Что это??!!», нужно просто взять и упростить выражение. Если не знаешь, как это делать, то тебе прямая дорога в тему «Преобразование выражений». Да-да, прямо сейчас, все бросай и переходи по ссылке!

Итак, если ты уже усвоил тему «Преобразование выражений», то тебе не составит труда упростить нашу функцию. Вот что должно получиться:

, , , выколотая точка :

6. . Здесь нужно не то чтобы упростить, тут нужно привести выражение к виду обратной зависимости. Мы такие штуки делали в теме «Обратная зависимость»:

Ну вот и все, ты научился строить любую гиперболу.

Замечу также, что правила построения гиперболы оказались немного проще, чем для параболы, ведь каждое число просто сдвигает график в какую-то одну сторону. И друг с другом коэффициенты не связаны.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ОБРАТНОЙ ЗАВИСИМОСТИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Определение

Функция, описывающая обратную зависимость — это функция вида , где .

График обратной зависимости — гипербола.

2. Коэффициенты , и .

Коэффициент отвечает за «пологость» и направление графика: чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок).

Знак коэффициента влияет на то, в каких четвертях расположен график:

если , то ветви гиперболы расположены в I и III четвертях; если , — то во II и IV.

Параметр – это такое число, которому не может равняться x. То есть – это вертикальная асимптота графика, или, другими словами, величина смещения графика вправо от оси .

Параметр отвечает за сдвиг по вертикали: когда , график смещается вверх относительно оси абсцисс, и вниз, если .

Следовательно, прямая – это горизонтальная асимптота графика.

3. Правило построения графика функции :

0) Определяем коэффициенты , и .

1) Строим график функции (сначала по 3-4 точкам правую ветвь, потом симметрично рисуем левую ветвь).

2) График должен быть сдвинут вправо на . Но проще двигать не график, а оси, так что ось сдвигаем влево на .

3) График должен быть сдвинут вверх на . Но проще двигать не график, а оси, так что ось сдвигаем вниз на .

4) Старые оси (прямые, которые служили нам осями в пункте 1) оставляем в виде пунктирных линий. Это теперь просто вертикальная и горизонтальная асимптоты.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

.

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Математическая гипербола.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

1. Ветви гиперболы. Если k>o, то ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти. Если k<0, то ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти.
гипербола, где k>0 ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти

гипербола, где k<0 ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти

Находим вторую асимптоту.

$$y=\color{red} {\frac{1}{x+2}}-1$$

Дробь \(\color{red} {\frac{1}{x+2}}\) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Пример №3:

$$\begin{align*}
&y=\frac{2+x}{1+x} \\\\
&y=\frac{\color{red} {1+1}+x}{1+x} \\\\
&y=\frac{1}{1+x}+\frac{1+x}{1+x}\\\\
&y=\frac{1}{1+x}+1\\\\
&y=\frac{1}{\color{red} {1+x}}+1
\end{align*}$$

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

$$y=\color{red}{\frac{1}{1+x}}+1$$

\(\color{red}{\frac{1}{1+x}}\) Дробь убираем.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

$$y=\frac{1}{x}$$

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

$$y=\frac{1}{x}$$

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

$$f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)$$

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

$$y=\frac{-1}{x-1}-1$$

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

$$y=\color{red} {\frac{-1}{x-1}}-1$$

Дробь \(\color{red} {\frac{-1}{x-1}}\) удаляем.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k<0 функция возрастающая.

8. Для более точного построения взять несколько дополнительных точек. Пример смотреть в пункте №6.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
реклама

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y. При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y.

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a < 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a = 0 , функция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y. Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Парабола

Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола.

Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c :

  1. Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
  • Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
  • Если a < 0 , ветки параболы направлены вниз.
  1. Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y.
  2. Коэффициент b помогает найти x в – координату вершины параболы.

x в = − b 2 a

  1. Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .
  • Если D > 0 – две точки пересечения.
  • Если D = 0 – одна точка пересечения.
  • Если D < 0 – нет точек пересечения.

Гипербола

Графиком функции y = k x является гипербола.

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

Если k     <     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Квадратный корень

Функция y     =     x имеет следующий график:

Возрастающие/убывающие функции

Функция y   =   f ( x ) возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y   =   f ( x ) убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *