Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки
ПОДГОТОВИЛА учитель математики МБОУ Долботовская СОШ Хатненок А.Ю.
В геометрии важную роль играет треугольник и его элементы. Мы уже умеем строить отрезок, равный данному, угол, равный данному, значит, сможем построить отрезки и углы, равные сторонам и углам данного треугольника. Изучив построение биссектрисы угла, сможем построить биссектрису треугольника.
Задание 1. Постройте угол, равный 60 , и с помощью транспортира постройте его биссектрису. Сформулируйте определение биссектрисы угла.
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам
60
А
Задание 2. Постройте угол, равный 60 . Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису этого угла.
А
а) построим окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла и отметим точки пересечения этой окружности со сторонами угла.
Задание 2. Постройте угол, равный 60 . Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису этого угла.
А
б) построим две окружности с тем же радиусом, но с центрами в полученных точках на сторонах угла и отметим точку их пересечения.
Задание 2. Постройте угол, равный 60 . Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису этого угла.
А
в) из вершины угла через полученную точку строим луч.
Проверим с помощью транспортира, что построенный луч является биссектрисой угла.
BAD=30
CAD=30
Вывод: мы нашли способ построения биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки.
Задание 3. Постройте угол, равный 60 , и с помощью циркуля и линейки постройте биссектрису этого угла, изменив радиусы вспомогательных окружностей.
Проверьте с помощью транспортира , правильно ли построена биссектриса.
Повторим этапы построения:
А
Случайно ли получилось, что АD является биссектрисой угла? Проведем доказательство того, что, работая по тому же алгоритму, всегда получим биссектрису угла.
— В каком случае луч является биссектрисой угла?
-Чтобы АD была биссектрисой, равенство каких углов необходимо доказать?
А
— Как обычно доказывают равенство углов?
— Какие треугольники можно рассмотреть?
Вернемся к каждому шагу построения и посмотрим, какую информацию об этих треугольниках мы можем получить.
— Итак, в нужных треугольниках мы нашли две пары равных элементов. А для равенства треугольников их нужно три. Посмотрим на чертеж, какое условие о нужных нам треугольниках можем выделить?
— Что мы делали на первом шаге и равенство каких элементов треугольников можем отметить?
-Что делали на втором шаге и равенство каких элементов треугольников можно отметить?
А
Доказательство.
Рассмотрим BAD и DAC
BAD= DAC (по трем сторонам).
Значит, BAD= DAC AD — биссектриса угла A.
Мы построили биссектрису угла с помощью циркуля и линейки и доказали правильность построений. Повторим алгоритм построения биссектрисы угла.
Алгоритм построения биссектрисы угла:
1. построить окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла и отметить точки пересечения этой окружности со сторонами угла;
2. построить две окружности с тем же радиусом, но с центрами в полученных точках на сторонах угла и отметить точку их пересечения.
3. из вершины угла через полученную точку построить луч. Этот луч и будет биссектрисой угла.
— Обязательно ли на втором шаге строить окружности тем же радиусом, что и первую?
— Обязательно ли на втором шаге строить окружности одним и тем же радиусом?
— На чем основано доказательство того, что построение выполнено правильно?
— Почему AB=AC?
— Почему BD=CD?
— Какой третий элемент в треугольниках выделяли для равенства треугольников?
Ученику требовалось построить биссектрису угла B. Опишите последовательность его действий.
Пример:
Построить биссектрису данного угла.
Дано: 
А.
Построить: биссектрису 
А.
Решение:
Произвольно строим с помощью линейки 
А.
С помощью циркуля строим окружность произвольного радиуса с центром в вершине 
А.
Точки пересечения данной окружности со сторонами 
А обозначим В и С.
Теперь проведем две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С.
В зависимости от длины ВС, получим одну или две точки пересечения данных окружностей внутри 
А. Ту точку, которая лежит внутри угла обозначают буквой и проводят через нее луч с началом в точке А. В нашем случае, получилось две точки пересечения данных окружностей, которые лежат внутри 
А. Обозначаем одну из них Е и проводим с помощью линейки луч АЕ.
Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного А. Рассмотрим треугольники АВЕ и АСЕ.
В данных треугольниках АВ = АС как радиусы окружности с центром в точке А, ВЕ = СЕ по построению, АЕ — общая, следовательно, АВЕ =АСЕ по 3 признаку равенства треугольников, откуда следует, что ВАЕ =САЕ, т.е луч АЕ — биссектриса данного А. Что и требовалось доказать.
Замечание:
- С помощью циркуля и линейки можно разделить данный угол на два равных угла, для этого нужно провести его биссектрису.
- С помощью циркуля и линейки можно разделить данный угол на четыре равных угла, для этого нужно разделить угол пополам (на два равных угла), а затем каждую половину разделить пополам еще раз.
- С помощью циркуля и линейки нельзя разделить данный угол на три равных угла (задача о трисекции угла).
Как построить биссектрису угла с помощью циркуля
Биссектрисой угла называют луч, который выходит из вершины угла и делит заданный угол на 2 угла, равные между собой.
Разберемся как можно построить биссектрису любого угла, имея линейку и циркуль.
- Задан угол с вершиной в точке А, биссектрису которого нужно построить. Данный угол выходит из вершины А.
Ставим циркуль в точку A и проводим окружность любого радиуса R. Заданный угол пересечется с начерченной окружностью в двух точках. Назовем их В и С.
- Чертим еще две окружности такого же радиуса с центрами в точках В и С. При пересечении этих двух начерченных окружностей получаем точку, которую назовем буквой D.
- С помощью линейки из точки А через точку D проводим луч. Полученный луч и будет биссектрисой заданного угла А.
Есть несколько правил, которые могут помочь Вам найти биссектрису.
К примеру:
— биссектриса делит противоположную сторону треугольника в таком отношении, которое равно отношению двух остальных сторон;
— две биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны;
— все три биссектрисы любого треугольника пересекутся в центре вписанной в этот треугольник окружности.
Также можно построить биссектрису с помощью транспортира.
Например, если Вам нужно построить биссектрису угла, равного 78 градусов, то нужно приложить транспортир к одной из сторон этого угла, отметить точку возле метки 78 / 2 = 39 градусов и провести луч из вершины заданного угла через полученную точку. Это и будет биссектриса угла 78 градусов.
23 мая 2011 Автор КакПросто! Треугольник и его построения имеют важное значение в начальной геометрии. Одно из построений треугольника – биссектриса — представляет собой прямой отрезок, исходящий из одной вершины треугольника и соединяющийся с точкой на противолежащем ребре. При этом биссектриса делит пополам угол данной вершины. В общем случае построение биссектрисы треугольника сводится к проведению биссектрисы угла конкретной вершины. Это построение выполняется с помощью транспортира. Однако построение биссектрисы равнобедренного и правильного треугольников можно провести с учетом их геометрических свойств без дополнительных инструментов. Вам понадобится
- Транспортир, линейка
Инструкция 1 Постройте заданный треугольник. Возьмите транспортир и измерьте угол вершины, из которой необходимо провести биссектрису. Поделите данный угол пополам. 2 Отмерьте от стороны треугольника, прилегающей к данной вершине, высчитанный угол. Поставьте точку, обозначающую половину угла вершины. 3 Проведите через вершину и отмеченную точку прямую линию так, чтобы она ограничивалась вершиной с одной стороны и противолежащей стороной треугольника с другой. Биссектриса треугольника построена. 4 Если заданный треугольник является равнобедренным или правильным, то есть у него
равны две или три стороны, то его биссектриса, согласно свойству треугольника, будет являться также и медианой. А, следовательно, противолежащая сторона будет делиться биссектрисой пополам. 5 Измерьте линейкой противолежащую строну треугольника, куда будет стремиться биссектриса. Поделите данную строну пополам и поставьте в середине стороны точку. 6 Проведите прямую линию, проходящую через построенную точку и противолежащую вершину. Это и будет биссектриса треугольника. Источники:
- Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Совет полезен?
