Как научиться быстро делить?

Не учишь матан? Пойдёшь на метан!

Чистая математика является в своём роде поэзией логической идеи. Альберт Эйнштейн

В данной статье мы предлагаем вам подборку простых математических приёмов, многие из которых довольно актуальны в жизни и позволяют считать быстрее.

Быстрое вычисление процентов

Пожалуй, в эпоху кредитов и рассрочек наиболее актуальным математическим навыком можно назвать виртуозное вычисление процентов в уме. Самым быстрым способом вычислить определённый процент от числа является умножение данного процента на это число с последующим отбрасыванием двух последних цифр в получившемся результате, ведь процент есть не что иное, как одна сотая доля.

Сколько составляют 20% от 70? 70 × 20 = 1400. Отбрасываем две цифры и получаем 14. При перестановке множителей произведение не меняется, и если вы попробуете вычислить 70% от 20, то ответ также будет 14.

Данный способ очень прост в случае с круглыми числами, но что делать, если надо посчитать, к примеру, процент от числа 72 или 29? В такой ситуации придётся пожертвовать точностью ради скорости и округлить число (в нашем примере 72 округляется до 70, а 29 до 30), после чего воспользоваться тем же приёмом с умножением и отбрасыванием двух последних цифр.

Быстрая проверка делимости

Можно ли поровну поделить 408 конфет между 12 детьми? Ответить на этот вопрос легко и без помощи калькулятора, если вспомнить простые признаки делимости, которые нам преподавали ещё в школе.

  • Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.
  • Число делится на 3, если сумма цифр, из которых состоит число, делится на 3. Например, возьмём число 501, представим его как 5 + 0 + 1 = 6. 6 делится на 3, а значит, и само число 501 делится на 3.
  • Число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. Например, берём 2 340. Последние две цифры образуют число 40, которое делится на 4.
  • Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
  • Число делится на 6, если оно делится на 2 и 3.
  • Число делится на 9, если сумма цифр, из которых состоит число, делится на 9. Например, возьмём число 6 390, представим его как 6 + 3 + 9 + 0 = 18. 18 делится на 9, а значит, и само число 6 390 делится на 9.
  • Число делится на 12, если оно делится на 3 и 4.

Быстрое вычисление квадратного корня

Квадратный корень из 4 равен 2. Это посчитает любой. А как насчёт квадратного корня из 85?

Для быстрого приблизительного решения находим ближайшее к заданному квадратное число, в данном случае это 81 = 9^2.

Теперь находим следующий ближайший квадрат. В данном случае это 100 = 10^2.

Корень квадратный из 85 находится где-то в интервале между 9 и 10, а поскольку 85 ближе к 81, чем к 100, то квадратный корень этого числа будет 9 с чем-то.

Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент удвоится

Хотите быстро узнать время, которое потребуется, чтобы ваш денежный вклад с определённой процентной ставкой удвоился? Тут также не нужен калькулятор, достаточно знать «правило 72».

Делим число 72 на нашу процентную ставку, после чего получаем приблизительный срок, через который вклад удвоится.

Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 14 с небольшим лет, чтобы он удвоился.

Почему именно 72 (иногда берут 70 или 69) ? Как это работает? На эти вопросы развёрнуто ответит «Википедия».

Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент утроится

В данном случае процентная ставка по вкладу должна стать делителем числа 115.

Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 23 года, чтобы он утроился.

Быстрое вычисление почасовой ставки

Представьте, что вы проходите собеседования с двумя работодателями, которые не называют оклад в привычном формате «рублей в месяц», а говорят о годовых окладах и почасовой оплате. Как быстро посчитать, где платят больше? Там, где годовой оклад составляет 360 000 рублей, или там, где платят 200 рублей в час?

Для расчёта оплаты одного часа работы при озвучивании годового оклада необходимо отбросить от названной суммы три последних знака, после чего разделить получившееся число на 2.

360 000 превращается в 360 ÷ 2 = 180 рублей в час. При прочих равных условиях получается, что второе предложение лучше.

Продвинутая математика на пальцах

Ваши пальцы способны на гораздо большее, нежели простые операции сложения и вычитания.

С помощью пальцев можно легко умножать на 9, если вы вдруг забыли таблицу умножения.

Пронумеруем пальцы на руках слева направо от 1 до 10.

Если мы хотим умножить 9 на 5, то загибаем пятый палец слева.

Теперь смотрим на руки. Получается четыре несогнутых пальца до согнутого. Они обозначают десятки. И пять несогнутых пальцев после согнутого. Они обозначают единицы. Ответ: 45.

Если мы хотим умножить 9 на 6, то загибаем шестой палец слева. Получим пять несогнутых пальцев до согнутого пальца и четыре после. Ответ: 54.

Таким образом можно воспроизвести весь столбик умножения на 9.

Быстрое умножение на 4

Существует чрезвычайно лёгкий способ молниеносного умножения даже больших чисел на 4. Для этого достаточно разложить операцию на два действия, умножив искомое число на 2, а затем ещё раз на 2.

Посмотрите сами. Умножить 1 223 сразу на 4 в уме сможет не каждый. А теперь делаем 1223 × 2 = 2446 и далее 2446 × 2 = 4892. Так гораздо проще.

Быстрое определение необходимого минимума

Представьте, что вы проходите серию из пяти тестов, для успешной сдачи которых вам необходим минимальный балл 92. Остался последний тест, а по предыдущим результаты таковы: 81, 98, 90, 93. Как вычислить необходимый минимум, который нужно получить в последнем тесте?

Для этого считаем, сколько баллов мы недобрали/перебрали в уже пройденных тестах, обозначая недобор отрицательными числами, а результаты с запасом — положительными.

Итак, 81 − 92 = −11; 98 − 92 = 6; 90 − 92 = −2; 93 − 92 = 1.

Сложив эти числа, получаем корректировку для необходимого минимума: −11 + 6 − 2 + 1 = −6.

Получается дефицит в 6 баллов, а значит, необходимый минимум увеличивается: 92 + 6 = 98. Дела плохи. 🙁

Быстрое представление значения обыкновенной дроби

Примерное значение обыкновенной дроби можно очень быстро представить в виде десятичной дроби, если предварительно приводить её к простым и понятным соотношениям: 1/4,1/3, 1/2 и 3/4.

К примеру, у нас есть дробь 28/77, что очень близко к 28/84 = 1/3, но поскольку мы увеличили знаменатель, то изначальное число будет несколько больше, то есть чуть больше, чем 0,33.

Трюк с угадыванием цифры

Можно немного поиграть в Дэвида Блэйна и удивить друзей интересным, но очень простым математическим трюком.

  1. Попросите друга загадать любое целое число.
  2. Пусть он умножит его на 2.
  3. Затем прибавит к получившемуся числу 9.
  4. Теперь пусть отнимет 3 от получившегося числа.
  5. А теперь пусть разделит получившееся число пополам (оно в любом случае разделится без остатка).
  6. Наконец, попросите его вычесть из получившегося числа то число, которое он загадал в начале.

Ответ всегда будет 3.

Да, очень тупо, но часто эффект превосходит все ожидания.

Бонус

И, конечно же, мы не могли не вставить в этот пост ту самую картинку с очень крутым способом умножения.

Образец

Устный счет – занятие, которым в наше время себя утруждает все меньшее количество людей. Гораздо проще достать калькулятор на телефоне и вычислить любой пример.

Но так ли это на самом деле? В этой статье мы представим математические лайфхаки, которые помогут научиться быстро складывать, вычитать, умножать и делить числа в уме. Причем оперируя не единицами и десятками, а минимум двухзначными и трехзначными числами.

После освоения методов из этой статьи идея лезть в телефон за калькулятором уже не покажется такой хорошей. Ведь можно не тратить время и посчитать все в уме гораздо быстрее, а заодно размять мозги и произвести впечатление на окружающих (противоположного пола).

Итак, добро пожаловать в увлекательный мир вычислений! Мы собрали советы от наших авторов о том, как улучшить устный счет и стать математическим героем и гением. Кстати, если вам интересна математика, вы можете почитать статью «Пределы для чайников» в нашем блоге.

Предупреждаем! Если вы обычный человек, а не вундеркинд, то для развития навыка счета в уме понадобятся тренировки и практика, концентрация внимания и терпение. Сначала все может получаться медленно, но потом дело пойдет на лад, и вы сможете быстро считать в уме любые числа.

Гаусс и устный счет

Карл Фридрих Гаусс

Одним из математиков с феноменальной скоростью устного счета был знаменитый Карл Фридрих Гаусс (1777-1855). Да-да, тот самый Гаусс, который придумал нормальное распределение.

По его собственным словам, он научился считать раньше, чем говорить. Когда Гауссу было 3 года, мальчик взглянул на платежную ведомость своего отца и заявил: «Подсчеты неверны». После того как взрослые все перепроверили, выяснилось, что маленький Гаусс был прав.

В дальнейшем этот математик достиг немалых высот, а его труды до сих пор активно используются в теоретических и прикладных науках. До самой смерти большую часть вычислений Гаусс производил в уме.

Здесь мы не будем заниматься сложными расчетами, а начнем с самого простого.

Сложение чисел в уме

Чтобы научиться складывать в уме большие числа, нужно уметь безошибочно складывать числа до 10. В конечном счете любая сложная задача сводится к выполнению нескольких тривиальных действий.

Чаще всего проблемы и ошибки возникают при сложении чисел с «переходом через 10». При сложении (да и при вычитании) удобно применять технику «опоры на десяток». Что это? Сначала мы мысленно спрашиваем себя, сколько одному из слагаемых не хватает до 10, а потом прибавляем к 10 оставшуюся до второго слагаемого разность.

Например, сложим числа 8 и 6. Чтобы из 8 получить 10, не хватает 2. Затем к 10 останется прибавить 4=6-2. В итоге получаем: 8+6=(8+2)+4=10+4=14

Основная хитрость со сложением больших чисел – разбить их на разрядные части, а потом сложить эти части между собой.

Пусть нам нужно сложить два числа: 356 и 728. Число 356 можно представить как 300+50+6. Аналогично, 728 будет иметь вид 700+20+8. Теперь складываем:

356+728=(300+700)+(50+20)+(8+6)=1000+70+14=1084

Вычитание чисел в уме

Вычитание чисел тоже будет даваться легко. Но в отличие от сложения, где каждое число разбивается на разрядные части, при вычитании «разбить» нужно только то число, которое мы отнимаем.

Например, сколько будет 528-321? Разбиваем число 321 на разрядные части и получаем: 321=300+20+1.

Теперь считаем: 528-300-20-1=228-20-1=208-1=207

Попробуйте визуализировать процессы сложения и вычитания. В школе всех учили считать в столбик, то есть сверху вниз. Один из способов перестроить мышление и ускорить счет – считать не сверху вниз, а слева направо, разбивая числа на разрядные части.

Умножение чисел в уме

Умножение – это многократное повторение числа. Если нужно умножить 8 на 4, это значит, что число 8 нужно повторить 4 раза.

Так как все сложные задачи сводятся к более простым, нужно уметь умножать все однозначные числа. Для этого существует отличный инструмент – таблица умножения. Если вы не знаете эту таблицу на зубок, то мы настоятельно рекомендуем первым делом выучить ее и только потом приниматься за практику устного счета. К тому же учить там, по сути, нечего.

Таблица умножения

Умножение многозначных чисел на однозначные

Сначала потренируйтесь в умножении многозначных чисел на однозначные. Пусть нужно умножить 528 на 6. Разбиваем число 528 на разряды и идем от старшего к младшему. Сначала умножаем, а потом складываем результаты.

528=500+20+8

528*6=500*6+20*6+8*6=3000+120+48=3168

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Умножение двузначных чисел

Здесь тоже нет ничего сложного, только нагрузка на краткосрочную память немного больше.

Перемножим 28 и 32. Для этого сведем всю операцию к умножению на однозначные числа. Представим 32 как 30+2

28*32=28*30+28*2=20*30+8*30+20*2+8*2=600+240+40+16=896

Еще один пример. Умножим 79 на 57. Это значит, что на нужно взять число «79» 57 раз. Разобьем всю операцию на этапы. Сначала умножим 79 на 50, а потом – 79 на 7.

  • 79*50=(70+9)*50=3500+450=3950
  • 79*7=(70+9)*7=490+63=553
  • 3950+553=4503

Умножение на 11

Вот хитрый прием быстрого устного счета, который поможет умножить любое двузначное число на 11 с феноменальной скоростью.

Чтобы умножить двузначное число на 11, две цифры числа складываем друг с другом, и получившуюся сумму вписываем между цифрами исходного числа. Получившееся в итоге трехзначное число – результат умножения исходного числа на 11.

Проверим и умножим 54 на 11.

Возьмите любое двузначное число, умножьте его на 11 и убедитесь сами – эта хитрость работает!

Возведение в квадрат

С помощью другого интересного приема устного счета можно легко и быстро возводить двузначные числа в квадрат. Особенно просто это делать с числами, которые заканчиваются на 5.

Результат начинается с произведения первой цифры числа на следующую за ней по иерархии. То есть, если эту цифру обозначить через n, то следующей за ней по иерархии цифрой будет n+1. Результат заканчивается на квадрат последней цифры, то есть квадрат 5.

Проверим! Возведем в квадрат число 75.

Раньше все считали без калькуляторов

Деление чисел в уме

Осталось разобраться с делением. По сути, это операция, обратная умножению. С делением чисел до 100 никаких проблем вообще возникать не должно – ведь есть таблица умножения, которую вы знаете на зубок.

Деление на однозначное число

При делении многозначных чисел на однозначное необходимо выделить максимально большую часть, которую можно разделить с помощью таблицы умножения.

Например, есть число 6144, которое нужно разделить на 8. Вспоминаем таблицу умножения и понимаем, что на 8 будет делиться число 5600. Представим пример в виде:

6144:8=(5600+544):8=700+544:8

Далее из числа 544 также выделяем максимально большое число, которое делится на 8. Имеем:

544:8=(480+64):8=60+64:8

Осталось разделить 64 на 8 и получить результат, сложив все результаты деления

6144:8=700+60+8=768

Деление на двузначное число

При делении на двузначное число нужно пользоваться правилом последней цифры результата при умножении двух чисел.

При умножении двух многозначных чисел последняя цифра результата умножения всегда совпадает с последней цифрой результата умножения последних цифр этих чисел.

Например, умножим 1325 на 656. По правилу, последняя цифра в получившемся числе будет 0, так как 5*6=30. Действительно, 1325*656=869200.

Теперь, вооружившись этой ценной информацией, рассмотрим деление на двузначное число.

Сколько будет 4424:56?

Первоначально будем пользоваться методом «подгона» и найдем пределы, в которых лежит результат. Нам нужно найти число, которое при умножении на 56 даст 4424. Интуитивно попробуем число 80.

56*80=4480

Значит, искомое число меньше 80 и явно больше 70. Определим его последнюю цифру. Ее произведение на 6 должно заканчиваться цифрой 4. Согласно таблице умножения, нам подходят результаты 4 и 9. Логично предположить, что результатом деления может быть либо число 74, либо 79. Проверяем:

79*56=4424

Готово, решение найдено! Если бы не подошло число 79, второй вариант обязательно оказался бы верным.

Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского»

Полезные советы

В заключение приведем несколько полезных советов, которые помогут быстро научиться устному счету:

  • Не забывайте тренироваться каждый день;
  • не бросайте тренировки, если результат не приходит так быстро, как хотелось бы;
  • скачайте мобильное приложение для устного счета: так вам не придется самостоятельно придумывать себе примеры;
  • почитайте книги по методикам быстрого устного счета. Существуют разные техники устного счета, и вы сможете овладеть той, которая лучше всего подходит именно вам.

Польза устного счета неоспорима. Тренируйтесь, и с каждым днем вы будете считать все быстрее и быстрее. А если вам понадобится помощь в решении более сложных и многоуровневых задач, обращайтесь к специалистам студенческого сервиса за быстрой и квалифицированной помощью!

Во время калькуляторов отпадает надобность делить в уме хоть большие, хоть малые числа. Нажал на кнопки – и готово, без проблем. Однако некоторые все же хотят поупражняться не корысти ради, а пользы для. Человек, ищущий ответ на вопрос, как делить в уме, желает устроить гимнастику для ума. Поможем ему и расскажем о способах деления в уме.

Как быстро делить в уме? Нужно тренировать память

Если у человека слабое воображение и плохая память, то ему трудно делить в уме. Поэтому сначала нужно стать сильнее. Как это сделать?

  • Читать книги.
  • Учить стихи наизусть и рассказывать.
  • Конспектировать прочитанные книги, оставляя опорные пункты для памяти.

Если память никуда не годится, то никаких действий в уме делать нельзя, ибо во время сложного деления умозрительно приходится запоминать большие цифры. А как их запомнить, в какой сундук положить, если память подводит? То-то же. Двигаемся далее.

Как научиться делить в уме большие числа? Самые простые способы

Существует множество способов облегчить себе математическую задачу. Не будем мудрить и предложим читателю самые простые методы деления в уме, правда, для них все равно потребуется неплохая память.

  • Столбик. Каждый школьник может делить столбиком. Вот и человек должен вспомнить «школьные годы чудесные» и вообразить бумагу и ручку, а затем провести все вычисления в уме, как если бы это был лист бумаги.
  • Делить на 10, 1000, 10 000. Здесь все очень просто. Любое даже самое страшное число делится на 10 или 1000 перемещением запятой справа налево. Например, число 6667:1000 = 6,667. И калькулятор не нужен.
  • Если необходимо разделить на 5 или 50. Заменяем 5 на дробь 10/2, а 50 – на 100/2. Таким же образом можно разделить на любое число с пятеркой с любым количеством нулей. Например, нужно разделить 1800 на 500. Мы просто умножаем 1800 на 2 и делим на 1000. Получаем 3,6. Можно сравнить с результатом калькулятора, если не верите. Разделите 1800 на 500.

Если эти методы слишком сложные или непонятные, то носите калькулятор на всякий случай, чтобы избежать ошибки. Но приведенные методы сильно облегчают жизнь.

Как в уме делить малое на большое? Методы

Иногда нужно делить не большое на меньшее, а наоборот – меньшее на большое. Но пугаться этого не стоит. Человечество придумало уловки и для такой трудности.

  • Обыкновенная дробь. Если человеку повезло и у него числа 49 и 56, то он составляет из них обыкновенную дробь, потом делит на общее для них (в нашем случае 7) и записывает ответ 7/8. Представим, что у 49 и 56 нет того числа, на которое их можно поделить, тогда ответ был бы 49/56.
  • Нужна десятичная дробь. Нет ничего проще: делим все те же 49:56 и записываем ответ (здесь можно использовать калькулятор, если нужно точное число, или ум, если нужно приблизительное). В нашем случае десятичная дробь будет такой – 0,875. Если у человека получилось иррациональное число, то есть с бесконечным рядом после запятой, пусть округляет значение до той цифры, которая требуется в задаче.
  • Если меньшее число отрицательно. К примеру, -3:4. То в результате возникает дробь обычная -¾, с минусом, или десятичная отрицательная дробь –0,75. В этом случае числа делятся по модулю, невзирая на знаки, потом к результату прибавляется минус.
  • Если оба числа отрицательные, то минус сразу можно отбросить, ибо минус на минус дает плюс.

Нехитрые методы, не правда ли? Тренируйте чаще память и бегите прочь от болезни Альцгеймера.

Действия с дробями. В этой статье разберём примеры, всё подробно с пояснениями. Рассматривать будем обыкновенные дроби. В дальнейшем разберём и десятичные. Рекомендую посмотреть весь и изучать последовательно.

1. Сумма дробей, разность дробей.

Правило: при сложении дробей с равными знаменателями, в результате получаем дробь – знаменатель которой остаётся тот же, а числитель её будет равен сумме числителей дробей.

Правило: при вычислении разности дробей с одинаковыми знаменателями получаем дробь – знаменатель остаётся тот же, а из числителя первой дроби вычитается числитель второй.

Формальная запись суммы и разности дробей с равными знаменателями:

Примеры (1):

Понятно, что когда даны обыкновенные дроби, то всё просто, а если смешанные? Ничего сложного…

Вариант 1 – можно перевести их в обыкновенные и далее вычислять.

Вариант 2 – можно отдельно «работать» с целой и дробной частью.

Примеры (2):

Ещё:

А если будет дана разность двух смешанных дробей и числитель первой дроби будет меньше числителя второй? Тоже можно действовать двумя способами.

Примеры (3):

*Перевели в обыкновенные дроби, вычислили разность, перевели полученную неправильную дробь в смешанную.

*Разбили на целые и дробные части, получили тройку, далее представили 3 как сумму 2 и 1, при чём единицу представили как 11/11, далее нашли разность 11/11 и 7/11 и вычислили результат. Смысл изложенных преобразований заключается в том, чтобы взять (выделить) единицу и представить её в виде дроби с нужным нам знаменателем, далее от этой дроби мы уже можем вычесть другую.

Ещё пример:

Вывод: имеется универсальный подход – для того, чтобы вычислить сумму (разность) смешанных дробей с равными знаменателями их всегда можно перевести в неправильные, далее выполнить необходимое действие. После этого если в результате получаем неправильную дробь переводим её в смешанную.

Выше мы рассмотрели примеры с дробями, у которых равные знаменатели. А если знаменатели будут отличаться? В этом случае дроби приводятся к одному знаменателю и выполняется указанное действие. Для изменения (преобразования) дроби используется основное свойство дроби.

Рассмотрим простые примеры:

В данных примерах мы сразу видим каким образом можно преобразовать одну из дробей, чтобы получить равные знаменатели.

Если обозначить способы приведения дробей к одному знаменателю, то этот назовём СПОСОБ ПЕРВЫЙ.

То есть, сразу при «оценке» дроби нужно прикинуть сработает ли такой подход – проверяем делится ли больший знаменатель на меньший. И если делится, то выполняем преобразование — домножаем числитель и знаменатель так чтобы у обеих дробей знаменатели стали равными.

Теперь посмотрите на эти примеры:

К ним указанный подход не применим. Существуют ещё способы приведения дробей к общему знаменателю, рассмотрим их.

Способ ВТОРОЙ.

Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой:

*Фактически мы приводим дроби к виду, когда знаменатели становятся равными. Далее используем правило сложения робей с равными знаменателями.

Пример:

*Данный способ можно назвать универсальным, и он работает всегда. Единственный минус в том, что после вычислений может получится дробь которую необходимо будет ещё сократить.

Рассмотрим пример:

Видно что числитель и знаменатель делится на 5:

Способ ТРЕТИЙ.

Необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это и будет общий знаменатель. Что это за число такое? Это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из чисел.

Посмотрите, вот два числа: 3 и 4, есть множество чисел, которые делятся на них – это 12, 24, 36, … Наименьшее из них 12. Или 6 и 15, на них делятся 30, 60, 90 …. Наименьшее 30. Вопрос – а как определить это самое наименьшее общее кратное?

Имеется чёткий алгоритм, но часто это можно сделать и сразу без вычислений. Например, по указанным выше примерам (3 и 4, 6 и 15) никакого алгоритма не надо, мы взяли большие числа (4 и 15) увеличили их в два раза и увидели, что они делятся на второе число, но пары чисел могут быть и другими, например 51 и 119.

Алгоритм. Для того, чтобы определить наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо:

— разложить каждое из чисел на ПРОСТЫЕ множители

— выписать разложение БОЛЬШЕГО из них

— умножить его на НЕДОСТАЮЩИЕ множители других чисел

Рассмотрим примеры:

50 и 60 =>50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

в разложении большего числа не хватает одной пятёрки

=> НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 и 72 =>48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

в разложении большего числа не хватает двойки и тройки

=> НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Наименьшее общее кратное двух простых чисел равно их произведению

Вопрос! А чем полезно нахождение наименьшего общего кратного, ведь можно пользоваться вторым способом и полученную дробь просто сократить? Да, можно, но это не всегда удобно. Посмотрите, какой получится знаменатель для чисел 48 и 72, если их просто перемножить 48∙72 = 3456. Согласитесь, что приятнее работать с меньшими числами.

Рассмотрим примеры:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

в разложении большего числа не хватает тройки

=> НОК(51,119) = 3∙7∙17

А теперь применим первый способ:

*Посмотрите какая разница в вычислениях, в первом случае их минимум, а во втором нужно потрудиться отдельно на листочке, да ещё и дробь которую получили сократить необходимо. Нахождение НОК упрощает работу значительно.

Ещё примеры:

*Во втором примере и так видно, что наименьшее число, которое делится на 40 и 60 равно 120.

ИТОГ! ОБЩИЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЙ!

— приводим дроби к обыкновенным, если есть целая часть.

— приводим дроби к общему знаменателю (сначала смотрим делится ли один знаменатель на другой, если делится то умножаем числитель и знаменатель этой другой дроби; если не делится действуем посредством других указанных выше способов).

— получив дроби с равными знаменателями, выполняем действия (сложение, вычитание).

— если необходимо, то результат сокращаем.

— если необходимо, то выделяем целую часть.

2. Произведение дробей.

Правило простое. При умножении дробей умножаются их числители и знаменатели:

Примеры:

Задача. На базу привезли 13 тонн овощей. Картофель составляет ¾ от всех завезённых овощей. Сколько килограмм картофеля завезли на базу?

С произведением закончим.

*Ранее обещал вам привести формальное объяснение основного свойства дроби через произведение, пожалуйста:

3. Деление дробей.

Деление дробей сводится к их умножению. Здесь важно запомнить, что дробь являющаяся делителем (та, на которую делят) переворачивается и действие меняется на умножение:

Данное действие может быть записано в виде так называемой четырёхэтажной дроби, ведь само деление «:» тоже можно записать как дробь:

Примеры:

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Дробь — число, которое состоит из целого числа долей единицы и представляется в виде: a/b

Числитель дроби (a) — число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.

Знаменатель дроби (b) — число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.

2.Приведение дробей к общему знаменателю

3.Арифметические действия над обыкновенными дробями

3.1.Сложение обыкновенных дробей

3.2.Вычитание обыкновенных дробей

3.3.Умножение обыкновенных дробей

3.4.Деление обыкновенных дробей

4.Взаимно обратные числа

5.Десятичные дроби

6.Арифметические действия над десятичными дробями

6.1.Сложение десятичных дробей

6.2.Вычитание десятичных дробей

6.3.Умножение десятичных дробей

6.4.Деление десятичных дробей

#1. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.

3/7=3*3/7*3=9/21, то есть 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m — так выглядит основное свойство дроби.

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Если ad=bc, то две дроби a/b=c/d считаются равными.

Например, дроби 3/5 и 9/15 будут равными, так как 3*15=5*9, то есть 45=45

Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, 45/60=15/​​20=9/12=3/4​​​(числитель и знаменатель делится на число 3, на 5 и на 15).

Несократимая дробь — это дробь вида 3/4​​, где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.

Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, надо:

1) разложить знаменатель каждой дроби на простые множители;

2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие

множители из разложения второго знаменателя;

3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители из первого разложения.

Примеры: приведите дроби к общему знаменателю .

Разложим знаменатели на простые множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Умножили числитель и знаменатель дроби на недостающий множитель 5 из второго разложения.

числитель и знаменатель дроби на недостающие множители 3 и 2 из первого разложения.

= , 90 – общий знаменатель дробей .

Арифметические действия над обыкновенными дробями

3.1. Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

a/b+c/b=(a+c)/b​​;

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

a/b-c/b=(a-c)/b​​;

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а).

3.3. Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

a/b*c/d=a*c/b*d,

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

Например:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Деление обыкновенных дробей

Деление дробей производят следующим способом:

a/b:c/d=a*d/b*c,

то есть дробь a/b умножается на дробь, обратную данной, то есть умножается на d/c.

Пример: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

Взаимно обратные числа

Если a*b=1, то число b является обратным числом для числа a.

Пример: для числа 9 обратным является 1/9​​, так как 9*1/9=1, для числа 5 — обратное число 1/5​​, так как 5*​1/5​​=1.

Десятичные дроби

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10 000, …, 10^n10,1000,10000,…,10​n​​.

Например: 6/10=0,6; 44/1000=0,044​.

Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.

Например: 51/10=5,1; 763/100=7,63

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10.

менателем, который является делителем некой степени числа 10.

Пример: 5 — делитель числа 100, поэтому дробь 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2​0=0,2.

Арифметические действия над десятичными дробями

6.1. Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

6.2. Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

6.3. Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3. Имеем 27 \cdot 13=35127⋅13=351. Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=21+1=2). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,512,7⋅1,3=3,51.

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Для умножения на 10, 100, 1000, надо в десятичной дроби перенести запятую на 1, 2, 3цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10 000 = 14 7001,47⋅10000=14700.

6.4. Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12. Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100, то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112, то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

Например, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9=​31 1/9​​.

Числителем, а то, на которое делят — знаменателем.

Чтобы записать дробь, напишите сначала ее числитель, затем проведите под этим числом горизонтальную черту, а под чертой напишите знаменатель. Горизонтальная , разделяющая числитель и знаменатель, называется дробной чертой. Иногда ее изображают в виде наклонной «/» или «∕». При этом, числитель записывается слева от черты, а знаменатель справа. Так, например, дробь «две третьих» запишется как 2/3. Для наглядности числитель обычно пишут в верхней части строки, а знаменатель — в нижней, то есть вместо 2/3 можно встретить: ⅔.

Чтобы рассчитать произведение дробей, умножьте сначала числитель одной дроби на числитель другой. Запишите результат в числитель новой дроби. После этого перемножьте и знаменатели. Итоговое значение укажите в новой дроби. Например, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 ? 1 = 1; 3 ? 5 = 15).

Чтобы поделить одну дробь на другую, умножьте сначала числитель первой на знаменатель второй. То же произведите и со второй дробью (делителем). Или перед выполнением всех действий сначала «переверните» делитель, если вам так удобнее: на месте числителя должен оказаться знаменатель. После этого умножьте знаменатель делимого на новый знаменатель делителя и перемножьте числители. Например, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

  • Основные задачи на дроби

Дробные числа позволяют выражать в разном виде точное значение величины. С дробями можно выполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Чтобы научиться решать дроби, надо помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби, наличия целой части, общего знаменателя. Некоторые арифметические действия после выполнения требуют сокращения дробной части результата.

Вам понадобится

  • — калькулятор

Инструкция

Внимательно посмотрите на числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, иногда удобнее вначале выполнить действия с десятичными, а затем перевести их в неправильный вид. Можете перевести дроби в такой вид изначально, записав значение после запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, разделив числа выше и ниже на один делитель. Дроби, в которых выделяется целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к результату числитель. Данное значения станет новым числителем дроби. Чтобы выделить целую часть из первоначально неправильной дроби, надо поделить числитель на знаменатель. Целый результат записать от дроби. А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби при этом не меняется. Для дробей с целой частью возможно выполнение действий отдельно сначала для целой, а затем для дробной частей. Например, сумма 1 2/3 и 2 ¾ может быть вычислена :
— Переведение дробей в неправильный вид:
— 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
— Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:
— 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.

Перепишите их через разделитель «:» и продолжите обычное деление.

Для получения конечного результата полученную дробь сократите, разделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее возможное в данном случае. При этом выше и ниже черты должны быть целые числа.

Обратите внимание

Не выполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, чтобы при умножении на него числителя и знаменателя каждой дроби в результате знаменатели обеих дробей были равны.

Полезный совет

При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, или знаменатель, дроби. Например, полтора килограмма риса в виде дроби запишется следующим образом: 1 ½ кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для удобства вычислений такую дробь всегда можно записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для упрощения можно сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере возможно деление на 2. В результате получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь выполнять арифметические действия, представлены в одном виде.

Эта статья представляет собой общий взгляд на действия с дробями. Здесь мы сформулируем и обоснуем правила сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень дробей общего вида A/B, где A и B некоторые числа, числовые выражения или выражения с переменными. По обыкновению материал будем снабжать поясняющими примерами с детальными описаниями решений.

Навигация по странице.

Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида

Давайте договоримся под числовыми дробями общего вида понимать дроби, в которых числитель и/или знаменатель могут быть представлены не только натуральными числами, но и другими числами или числовыми выражениями. Для наглядности приведем несколько примеров таких дробей: , .

Нам известны правила, по которым выполняются . По этим же правилам можно выполнять действия с дробями общего вида:

Обоснование правил

Для обоснования справедливости правил выполнения действий с числовыми дробями общего вида можно отталкиваться от следующих моментов:

  • дробная черта — это по сути знак деления,
  • деление на некоторое отличное от нуля число можно рассматривать как умножение на число, обратное делителю (этим сразу объясняется правило деления дробей),
  • свойств действий с действительными числами,
  • и его обобщенном понимании ,

Они позволяют провести следующие преобразования, обосновывающие правила сложения, вычитания дробей с одинаковыми и разными знаменателями, а также правило умножения дробей:

Примеры

Приведем примеры выполнения действия с дробями общего вида по разученным в предыдущем пункте правилам. Сразу скажем, что обычно после проведения действий с дробями полученная дробь требует упрощения, причем процесс упрощения дроби часто сложнее, чем выполнение предшествующих действий. Мы не будем подробно останавливаться на упрощении дробей (соответствующие преобразования разобраны в статье преобразование дробей), чтобы не отвлекаться от интересующей нас темы.

Начнем с примеров сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями. Для начала сложим дроби и . Очевидно, знаменатели равны. Согласно соответствующему правилу записываем дробь, числитель которой равен сумме числителей исходных дробей, а знаменатель оставляем прежним, имеем . Сложение выполнено, остается упростить полученную дробь: . Итак, .

Можно было решение вести по-другому: сначала осуществить переход к обыкновенным дробям, после чего провести сложение. При таком подходе имеем .

Теперь вычтем из дроби дробь . Знаменатели дробей равны, поэтому, действуем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Переходим к примерам сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Здесь главная сложность заключается в приведении дробей к общему знаменателю. Для дробей общего вида это довольно обширная тема, ее мы разберем детально в отдельной статье приведение дробей к общему знаменателю. Сейчас же ограничимся парой общих рекомендаций, так как в данный момент нас больше интересует техника выполнения действий с дробями.

Вообще, процесс схож с приведением к общему знаменателю обыкновенных дробей. То есть, знаменатели представляются в виде произведений, дальше берутся все множители из знаменателя первой дроби и к ним добавляются недостающие множители из знаменателя второй дроби.

Когда знаменатели складываемых или вычитаемых дробей не имеют общих множителей, то в качестве общего знаменателя логично взять их произведение. Приведем пример.

Допустим, нам нужно выполнить сложение дробей и 1/2. Здесь в качестве общего знаменателя логично взять произведение знаменателей исходных дробей, то есть, . В этом случае дополнительным множителем для первой дроби будет 2. После умножения на него числителя и знаменателя дробь примет вид . А для второй дроби дополнительным множителем является выражение . С его помощью дробь 1/2 приводится к виду . Остается сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Вот краткая запись всего решения:

В случае дробей общего вида речь уже не идет о наименьшем общем знаменателе, к которому обычно приводятся обыкновенные дроби. Хотя в этом вопросе все же желательно стремиться к некоторому минимализму. Этим мы хотим сказать, что не стоит в качестве общего знаменателя сразу брать произведение знаменателей исходных дробей. Например, совсем не обязательно брать общим знаменателем дробей и произведение . Здесь в качестве общего знаменателя можно взять .

Переходим к примерам умножения дробей общего вида. Умножим дроби и . Правило выполнения этого действия нам предписывает записать дробь, числитель которой есть произведение числителей исходных дробей, а знаменатель – произведение знаменателей. Имеем . Здесь, как и во многих других случаях при умножении дробей, можно сократить дробь: .

Правило деления дробей позволяет от деления переходить к умножению на обратную дробь. Здесь нужно помнить, что для того, чтобы получить дробь, обратную данной, нужно переставить местами числитель и знаменатель данной дроби. Вот пример перехода от деления числовых дробей общего вида к умножению: . Остается выполнить умножение и упростить полученную в результате дробь (при необходимости смотрите преобразование иррациональных выражений):

Завершая информацию этого пункта, напомним, что любое число или числовое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем 1, поэтому, сложение, вычитание, умножение и деление числа и дроби можно рассматривать как выполнение соответствующего действия с дробями, одна из которых имеет единицу в знаменателе. Например, заменив в выражении корень из трех дробью , мы от умножения дроби на число перейдем к умножению двух дробей: .

Выполнение действий с дробями, содержащими переменные

Правила из первой части текущей статьи применяются и для выполнения действий с дробями, которые содержат переменные. Обоснуем первое из них – правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, остальные доказываются абсолютно аналогично.

Докажем, что для любых выражений A, C и D (D тождественно не равно нулю) имеет место равенство на его области допустимых значений переменных.

Возьмем некоторый набор переменных из ОДЗ. Пусть при этих значениях переменных выражения A, C и D принимают значения a 0, c 0 и d 0. Тогда подстановка значений переменных из выбранного набора в выражение обращает его в сумму (разность) числовых дробей с одинаковыми знаменателями вида , которая по правилу сложения (вычитания) числовых дробей с одинаковыми знаменателями равна . Но подстановка значений переменных из выбранного набора в выражение обращает его в ту же дробь . Это означает, что для выбранного набора значений переменных из ОДЗ значения выражений и равны. Понятно, что значения указанных выражений будут равны и для любого другого набора значений переменных из ОДЗ, а это означает, что выражения и тождественно равны, то есть, справедливо доказываемое равенство .

Примеры сложения и вычитания дробей с переменными

Когда знаменатели складываемых или вычитаемых дробей одинаковые, то все довольно просто – складываются или вычитаются числители, а знаменатель остается прежним. Понятно, что полученная после этого дробь при надобности и возможности упрощается.

Заметим, что иногда знаменатели дробей отличаются лишь с первого взгляда, но по факту являются тождественно равными выражениями, как например, и , или и . А иногда достаточно упростить исходные дроби, чтобы «проявились» их одинаковые знаменатели.

Пример.

, б) , в) .

Решение.

а) Нам нужно выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Согласно соответствующему правилу знаменатель оставляем прежним и вычитаем числители, имеем . Действие проведено. Но еще можно раскрыть скобки в числителе и привести подобные слагаемые : .

б) Очевидно, знаменатели складываемых дробей одинаковые. Поэтому, складываем числители, а знаменатель оставляем прежним: . Сложение выполнено. Но несложно заметить, что полученную дробь можно сократить. Действительно, числитель полученной дроби можно свернуть по формуле квадрат суммы как (lgx+2) 2 (смотрите формулы сокращенного умножения), таким образом, имеют место следующие преобразования: .

в) Дроби в сумме имеют разные знаменатели. Но, преобразовав одну из дробей, можно перейти к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Покажем два варианта решения.

Первый способ. Знаменатель первой дроби можно разложить на множители, воспользовавшись формулой разность квадратов, после чего сократить эту дробь: . Таким образом, . Еще не помешает освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: .

Второй способ. Умножение числителя и знаменателя второй дроби на (это выражение не обращается в нуль ни при каких значениях переменной x из ОДЗ для исходного выражения) позволяет достичь сразу двух целей: освободиться от иррациональности и перейти к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Имеем

Ответ:

а) , б) , в) .

Последний пример подвел нас к вопросу приведения дробей к общему знаменателю. Там мы почти случайно пришли к одинаковым знаменателям, упрощая одну из складываемых дробей. Но в большинстве случаев при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями приходится целенаправленно приводить дроби к общему знаменателю. Для этого обычно знаменатели дробей представляются в виде произведений, берутся все множители из знаменателя первой дроби и к ним добавляются недостающие множители из знаменателя второй дроби.

Пример.

Выполнить действия с дробями: а) , б) , в) .

Решение.

а) Здесь нет надобности что-либо делать со знаменателями дробей. В качестве общего знаменателя берем произведение . В этом случае дополнительным множителем для первой дроби выступает выражение , а для второй дроби – число 3. Эти дополнительные множители приводят дроби к общему знаменателю, что в дальнейшем позволяет выполнить нужное нам действие, имеем

б) В этом примере знаменатели уже представлены в виде произведений, и никаких дополнительных преобразований не требуют. Очевидно, множители в знаменателях отличаются лишь показателями степеней, поэтому, в качестве общего знаменателя берем произведение множителей с наибольшими показателями, то есть, . Тогда дополнительным множителем для первой дроби будет x 4, а для второй – ln(x+1). Теперь мы готовы выполнить вычитание дробей:

в) А в данном случае для начала поработаем со знаменателями дробей. Формулы разность квадратов и квадрат суммы позволяют от исходной суммы перейти к выражению . Теперь понятно, что эти дроби можно привести к общему знаменателю . При таком подходе решение будет иметь следующий вид:

Ответ:

а)

б)

в)

Примеры умножения дробей с переменными

Умножение дробей дает дробь, числитель которой есть произведение числителей исходных дробей, а знаменатель – произведение знаменателей. Здесь, как видите, все привычно и просто, и можно лишь добавить, что полученная в результате выполнения этого действия дробь часто оказывается сократимой. В этих случаях ее сокращают, если, конечно, это необходимо и оправданно.

В математике различные типы чисел изучаются с самого своего зарождения. Существует большое количество множеств и подмножеств чисел. Среди них выделяют целые числа, рациональные, иррациональные, натуральные, четные, нечетные, комплексные и дробные. Сегодня разберем информацию о последнем множестве — дробных числах.

Определение дробей

Дроби — это числа, состоящие из целой части и долей единицы. Также, как и целых чисел, существует бесконечное множество дробных, между двумя целыми. В математике действия с дробями выполняются, так как с целыми и натуральными числами. Это довольно просто и научиться этому можно за пару занятий.

В статье представлено два вида

Обыкновенные дроби

Обыкновенные дроби представляют собой целую часть a и два числа записанных через дробную черту b/c. Обыкновенные дроби могут быть крайне удобны, если дробную часть нельзя представить в рациональном десятичном виде. Кроме того, арифметические операции удобнее производить через дробную черту. Верхняя часть называется числитель, нижняя — знаменатель.

Действия с обыкновенными дробями: примеры

Основное свойство дроби. При умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, не являющееся нулем, в результате получается число равное данному. Это свойство дроби отлично помогает привести знаменатель для сложения (об этом будет рассказано ниже) или сократить дробь, сделать ее удобнее для счета. a/b = a*c/b*c. К примеру, 36/24 = 6/4 или 9/13 = 18/26

Приведение к общему знаменателю. Чтобы привести знаменатель дроби необходимо представить знаменатель в виде множителей, а затем помножить на недостающие числа. Например, 7/15 и 12/30; 7/5*3 и 12/5*3*2. Видим, что знаменатели отличаются двойкой, поэтому умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 2. Получаем: 14/30 и 12/30.

Составные дроби — обыкновенные дроби с выделенной целой частью. (A b/c) Чтобы представить составную дробь в виде обыкновенной, необходимо умножить число, стоящее перед дробью на знаменатель, а затем сложить с числителем: (A*c + b)/c.

Арифметические действия с дробями

Не лишним будет рассмотреть известные арифметические действия только при работе с дробными числами.

Сложение и вычитание. Складывать и вычитать обыкновенные дроби точно так же легко, как и целые числа, за исключением одной трудности — наличия дробной черты. Складывая дроби с одинаковым знаменателем, необходимо сложить лишь числители обеих дробей, знаменатели остаются без изменения. Например: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Если же знаменатели двух дробей представляют собой разные числа сначала нужно привести их к общему (как это сделать было рассмотрено выше). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Вычитание происходит по точно такому же принципу: 8/9 — 2/3 = 8/9 — 6/9 = 2/9.

Умножение и деление. Действия с дробями по умножению происходят по следующему принципу: отдельно перемножаются числители и знаменатели. В общем виде формула умножения выглядит так: a/b *c/d = a*c/b*d. Кроме того, по мере умножения можно сократить дробь, исключая одинаковые множители из числителя и знаменателя. Выражаясь другим языком, числитель и знаменатель делится на одно и то же число: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Для деления одной обыкновенной дроби на другую, нужно поменять числитель и знаменатель делителя и выполнить умножение двух дробей, по принципу, рассмотренному ранее: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

Десятичные дроби являются более популярной и часто используемой версией дробных чисел. Их проще записать в строчку или представить на компьютере. Структура десятичной дроби такая: сначала записывается целое число, а затем, после запятой, записывается дробная часть. По своей сути десятичные дроби — это составные обыкновенные дроби, однако их дробная часть представлена числом, деленным на кратное цифре 10. Отсюда и произошло их название. Действия с дробями десятичными аналогичны действиям с целыми числами, так как они так же записаны в десятичной системе счисления. Также в отличие от обыкновенных дробей, десятичные могут быть иррациональными. Это значит, что они могут быть бесконечны. Записываются они так 7,(3). Читается такая запись: семь целых, три десятых в периоде.

Основные действия с десятичными числами

Сложение и вычитание десятичных дробей. Выполнить действия с дробями не сложнее, чем с целыми натуральными числами. Правила абсолютно аналогичны с теми, что используют при сложении или вычитании натуральных чисел. Их точно так же можно считать столбиком, однако при необходимости заменять недостающие места нулями. Например: 5,5697 — 1,12. Для того чтобы выполнить вычитание столбиком нужно уравнять количество чисел после запятой: (5,5697 — 1,1200). Так, числовое значение не измениться и можно будет считать в столбик.

Действия с десятичными дробями нельзя производить, если одно из них имеет иррациональный вид. Для этого нужно перевести оба числа в обыкновенные дроби, а затем пользоваться приемами, описанными ранее.

Умножение и деление. Умножение десятичных дробей аналогично умножению натуральных. Их также можно умножать столбиком, просто, не обращая внимания на запятую, а затем отделить запятой в итоговом значении такое же количество знаков, сколько в сумме после запятой было в двух десятичных дробях. К примеру, 1,5 * 2,23 = 3,345. Все очень просто, и не должно вызвать затруднений, если вы уже овладели умножением натуральных чисел.

Деление также совпадает с делением натуральных чисел, но с небольшим отступлением. Чтобы разделить на десятичное число столбиком необходимо отбросить запятую в делителе, и умножить делимое на число знаков, стоявших после запятой в делителе. После чего выполнять деление как с натуральными числами. При неполном делении можно добавлять нули к делимому справа, также прибавляя ноль в ответ после запятой.

Примеры действий с десятичными дробями. Десятичные дроби — очень удобный инструмент для арифметического счета. Они сочетают в себе удобство натуральных, целых чисел и точность обыкновенных дробей. К тому же довольно просто перевести одни дроби в другие. Действия с дробями не отличаются от действий с натуральными числами.

  1. Сложение: 1,5 + 2,7 = 4,2
  2. Вычитание: 3,1 — 1,6 = 1,5
  3. Умножение: 1,7 * 2,3 = 3,91
  4. Деление: 3,6: 0,6 = 6

Кроме того, десятичные дроби подходят для представления процентов. Так, 100 % = 1; 60 % = 0,6; и наоборот: 0,659 = 65,9 %.

Вот и все, что нужно знать о дробях. В статье было рассмотрено два вида дробей — обыкновенные и десятичные. Оба довольно простые в вычислении, и если вы полностью овладели натуральными числами и действиями с ними, можете смело приступать к изучению дробных.

Способы быстрого сложения и вычитания (для быстрого сложения и вычитания используется «прием округления», который применяется, если хотя бы один из компонентов является числом, близким к круглым десяткам, сотням, тысячам и т.д.)

1. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

Примеры:
274 + 97 = 274 + (97 + 3) — 3 = 274 + 100 — 3 = 374 — 3 = 371;
1996 + 759 = (1996 + 4) — 4 + 759 = 2000 + 759 — 4 = 2759 — 4 = 2755.

2. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится. На основании этого выполняется округление одного слагаемого за счет другого.

Пример:
998 + 1526 = 1000 + 1524 = 2524.

3. Если вычитаемое, увеличить на несколько единиц, то, чтобы разность не изменилась, надо и уменьшаемое увеличить на столько же единиц.

Пример:
5431 — 3996 = 5435 — 4000 = 1435.

4. Если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то к полученной разности надо прибавить столько же единиц.

Пример:
10013 — 9775 = 10000 — 9775 + 13 = 225 + 13 = 238.

Способы быстрого умножения и деления

1. Умножение на 9, 99, 999 и т.д.

Чтобы умножить любое число на число, написанное девятками, надо к первому множителю приписать справа столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.

Примеры:
167 · 9 = 1670 — 167 = 1503;
26 · 99 = 2600 — 26 = 2574.

2. Умножение на число, близкое к единице какого-нибудь разряда.

Примеры:
615 · 98 = 615 · (100 — 2) = 615 · 100 — 615 · 2 = 61500 — 1210 = 60290;
5015 · 1002 = 5015 · (1000 + 2) = 5015 · 1000 + 5015 · 2 = 5015000 + 10030 = 5025030.

3. Умножение двузначного числа на 11.

Чтобы умножить двузначное число, сумма цифр которого меньше 10, на 11, надо между цифрами числа написать сумму его цифр

Пример:
63 · 11 = 693.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого больше или равна 10, надо между цифрой десятков, увеличенной на 1, и цифрой единиц написать разность между суммой цифр числа и числом 10.

Пример:
86 · 11 = 946.

4. Умножение на 5, 25, 125.

Чтобы умножить число на 5, 25, 125, достаточно разделить его соответственно на 2, 4, 8 и умножить на 10, 100, 1000.

Примеры:
1246 · 5 = 6230, так как 1246 : 2 = 623;
6428 · 25 = 160700, так как 6428 : 4 = 1607;
8032 · 125 = 1004000, так как 8032 : 8 = 1004.

5. Деление на 5, 25, 125.

Чтобы разделить число на 5, 25, 125, достаточно умножить его соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.

Примеры:
315 : 5 = 63, так как 315 · 2 = 630;
2025 : 25 = 81, так как 2025 · 4 = 8100;
10125 : 125 = 81, так как 10125 · 8 = 81000.

6. Возведение в квадрат чисел, в записи которых есть цифра 5.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, надо число его десятков умножить на число, увеличенное на единицу, и справа дописать 25.

Пример:
Вычислить 35 2 .
Решение (выполняется устно). 3 · 4 = 12, дописав справа 25, получаем результат: 35 2 = 1225.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, имеющее 5 десятков, надо к числу 25 прибавить число единиц и к результату дописать справа квадрат числа единиц так, чтобы получилось четырехзначное число.

«Лучше усваиваются те знания,

которые поглощаются с аппетитом»

Анатоль Франс, французский писатель

Приемы быстрых вычислений

В самом обыкновенном устном счете, как и во многом другом, можно видеть много интересного, необычного и чудесного.

Математика — это инструмент для изучения других наук и различных сфер жизни, это не просто «сухие» цифры, формулы, а как сказал Аристотель: «Математика… выявляет порядок, симметрию, определенность, а это — важнейшие виды прекрасного».

Вряд ли кто-нибудь будет оспаривать необходимость вычислительной культуры современного человека.

Не потеряли своей актуальности слова М.В. Ломоносова о том, что арифметику за тем уже изучать стоит, что она ум в порядок приводит.

С приходом в нашу жизнь и школу калькуляторов, современные школьники перестали использовать устные формы вычислений. Между тем устный счет в их развитии нельзя заменить никакими калькуляторами.

Необходимо находить время на уроках для знакомства с приемами устного счета, тогда школьники не будут пользоваться калькуляторами.

В предлагаемой статье рассмотрены некоторые приемы быстрых вычислений, которые могут пригодиться не только на уроках математики, но и в повседневной жизни.

Способы быстрого сложения чисел

Способы быстрого сложения чисел:

порядковое сложение чисел 15+39+26=(10+30+20)+(5=9+6)=60+20=80.

Прибавление к одному числу отдельных, разрядов другого числа, всегда начиная с высших:

Сложение с использованием свойств действий с числами

При выполнении быстрого сложения чисел самым простым, на мой взгляд, является прибавление к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших

Способы быстрого вычитания чисел

Способы быстрого вычитания:

Вычитание с использованием свойств действий с числами

Ученики чаще принимают метод с использованием свойств действий с числами.

Способы быстрого вычитания чисел

Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого

Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих.

Если уменьшаемое или вычитаемое близки, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

Удобно выполнять вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих:

Способы быстрого умножения чисел

Чтобы умножить число на однозначный множитель, умножают сначала десятки, затем единицы и оба результата складывают:

Умножение на двухзначное число.

Если оба множителя двухзначные числа, то разбиваем один из них на десятки и единицы. Разбивать надо множитель, у которого десятки и единицы выражены меньшими числами:

Индийская тайна быстрого умножения

Необходимо умножить два числа близкие к 100: 98×96

Найдем дополнения каждого множителя за 100 — соответственно 2 и 4.

Вычтем из 1-го множителя дополнения второго:

98−4=94 (или наоборот)

Это первые цифры произведения

Перемножим дополнения 2×4=8 (08) — это последние цифры произведения : 98×96=9408.

Умножение на 2 слева направо

При умножении на 2 запоминаем единицу, если цифра больше четырех, поэтому правило следующее: умножаем очередную цифру на 2 и произведение увеличиваем на единицу, когда последующая цифра больше 4, и записываем только цифру единицу результата, если это не первая цифра множителя; для первой цифры записываем полностью значение результата.

4286×2=8572, потому что 4×2=8 и пишем 8, так как последующая цифра не больше 4.

Далее: 2×2=4, следующая цифра больше 4, последнее произведение увеличиваем на единицу, и записываем 5.

Затем 8×2=16, но с учетом значения последней цифры, пишем 2: 5619×2=11238.

Действительно, 5×2=10, но следующая цифра больше 4, поэтому

Далее, 6×2=12, пишем только 2, так как последующая цифра меньше 4.

Далее, 1×2=2, но последующая цифра больше 4, поэтому пишем 3.

И наконец, 9×2=18, пишем 8.

Чтобы ускорить нахождение произведения, можно первый множитель разбить на грани, но несколько цифр в каждой последовательности умножаем числа каждой грани, записываем для первой грани полностью результат с учетом значения первой цифры следующей грани, для остальных граней записываем значение полученного результата, отбрасывая первую цифру, если число цифр результата больше числа цифр грани:

Разбиваем первый множитель на грани:

Далее, 32×2=64, но с учетом первой цифры следующей грани записываем 65. Затем 96×2=192 (количество цифр произведения 3, а грань состоит из двух цифр), первая цифра следующей грани не больше 4, поэтому записываем 92, затем записываем 90=45×2.

Способы быстрого умножения чисел.

Умножение на 4 и на 8

Чтобы число умножить на 4; 8, его последовательно удваивают:

Так как 5= 10/2, поэтому, чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2, то есть к числу приписывают нуль и делят десять пополам:

Умножение на 0,5

Так как 0,5=½, поэтому чтобы умножить число на 0,5, его нужно разделить пополам:

Умножение на 1,5 и 15

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину:

Чтобы число умножить на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:

Часто в повседневной жизни нам приходится умножать число на 1,5 или на 15.

Это легко сделать так: 48×1,5=48+24=72;

Умножение на 15

Можно использовать соотношение 15=30/2, получаем, что ах15=ах30/2.

Предварительно представляем а, если оно нечетное, в виде суммы или разности нечетного числа и единицы:

Умножение на 11

Прием умножения на 11 поражает своей красотой.

36×11, для этого достаточно подписать 36 по 36, но сдвинув его на одну цифру вперед, вот так 36

А затем выполнить сложение в столбик.

Эту операцию можно проводить с любыми цифрами, будь то трехзначное или четырехзначное число.

Умножить на 11 можно и другим способом. Достаточно «раздвинуть» числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем, если эта сумма больше 9, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

На 11 умножить можно и так: приписать к умножаемому числу 0, а затем прибавить его:

Умножение на 25, 50, 75, 125

Принимая во внимание, что

Соответствующим образом преобразовываем второй множитель:

Приемы сокращенного умножения

На 5: 46×5=46/2×10=230;

На 25: 83×25=80/4×100+3×25=2075;

На 125: 48×125=48/8×1000=6000;

На 155: ах155=100а+50а+5а

Умножение двух чисел, «близких» к 100

Когда каждый из множителей меньше 100, тогда:

(100-а)(100− b )=100×100−100а-100 b +а b =(100-а- b )х100+ ab .

(100+а)(100+ b )=100(100+ a + b )+а b

Подсчитаем число сотен произведения 100− (а+ b )=100−11=89

Возведение в квадрат чисел,

цифра единиц которых равна пять

а

5ха5=(10а+5)(10а+5)=100а 2 +2×10х5а+25=100(а 2 +а)+25=100ха(а+1)+25==(а(а+1))25.

Получаем правило: для умножения числа, которое заканчивается цифрой пять на само себя, необходимо число десятков умножить на последующее число и к полученному произведению приписать произведение цифр единиц, то есть 25.

Аналогичным образом находится произведение двух чисел, которых количество десятков одинаковое, а сумма цифр единиц равна десяти.

35×35=1225, так как 3×4=12;

125×125=15625, так как 12×13=156;

42×48=2016, так как 4×5=20 и 2×8=16.при возведении в квадрат любых чисел можно воспользоваться свойством:

а 2 =а 2 — b 2 + b 2 =(а- b )(а+ b )+ b 2

Обычно в качестве b выбираем такое число, чтобы а+ b и a — b было круглым числом.

76 2 =(76+4)(76−4)+4 2 =80×72+4 2 =5760+16=5760 ( b=4) ;

76 2 =(76+6)(76−6)+6 2 =82×70+36=5740+36=5776 ( b =6).

34 2 =(34+6)(34−6)+6 2 =40×28+36=1156;

987 2 =(987+13)(987−13)+13 2 =1000×974+169=974169.

Способы быстрого деления чисел.

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление:

Нахождение частного, когда делитель равен 15, осуществляется по схеме:

Устный счет — это практическое явление, необходимое для развития вычислительных навыков и как следствие устной сдачи экзаменов.

Устное вычисление прекрасно стимулируют развитие памяти у детей и взрослых, увеличивают скорость мышления и улучшают сообразительность, тренируют внимание.

Школьники, развивающие навыки устного счета, очень быстро обгоняют по интеллекту своих одноклассников, полагающихся на калькуляторы.

Гибкость ума является предметом гордости людей, а способности производить быстрые вычисления в уме вызывают удивление.

Не учишь матан? Пойдёшь на метан!

Чистая математика является в своём роде поэзией логической идеи. Альберт Эйнштейн

В данной статье мы предлагаем вам подборку простых математических приёмов, многие из которых довольно актуальны в жизни и позволяют считать быстрее.

И, конечно же, мы не могли не вставить в этот пост ту самую картинку с очень крутым способом умножения.

Метки:

В данном уроке мы изýчим деление чисел. Деление чисел довольно непростая операция как в освоении, так и в использовании. Рекомендуем набраться терпения, чтобы осилить этот урок до конца.

Что такое деление?

Деление это действие, позволяющее что-либо разделить.

Деление состоит из трёх параметров: делимого, делителя и частного. Делимое это то, что делят. Делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Частное это собственно результат.

Пусть у нас имеются 4 яблока:

четыре яблока

Разделим их поровну на двоих друзей. Тогда деление покажет сколько яблок достанется каждому. Нетрудно увидеть, что каждому достанется по два яблока:

четыре яблока на двоих

Процесс деления четырех яблок на двоих друзей можно описáть следующим выражением:

четыре яблока на двоих выражение

В этом примере роль делимого играют яблоки. Роль делителя играют двое друзей, показывающих на сколько частей нужно разделить 4 яблока. Роль частного играют два яблока, показывающие сколько досталось каждому.

Говоря о делении, можно рассуждать и по-другому. Вернёмся к предыдущему выражению 4 : 2 = 2. Можно посмотреть на делитель 2 и задать вопрос «сколько двоек в четвёрке?» и ответить: «две двойки». Действительно, если сложить две двойки, то получится число 4

два плюс два равно четыре обобщение деления

В ситуации с четырьмя яблоками можно задать вопрос «сколько раз два яблока содержатся в четырёх яблоках» и ответить: «два раза».

сколько раз два яблока содержится в четырех яблоках

Чтобы научиться делить, нужно хорошо знать таблицу умножения. Почему же умножения? Ведь мы говорим о делении. Дело в том, что деление это действие, обратное умножению. Данную фразу можно понимать в прямом смысле. Например, если 2 × 5 = 10, то 10 : 5 = 2.

vzaimno-obratnye-operatsii-umnozhenie-i-delenie

Видно, что второе выражение записано в обратном порядке. Если у нас имеются два яблока и мы захотим увеличить их в пять раз, то запишем 2 × 5 = 10. Получится десять яблок. Затем, если мы захотим обратно уменьшить эти десять яблок до двух, то запишем 10 : 5 = 2

Знак деления выглядит в виде двоеточия : но также можно встретить знак двоеточия и тире ÷

На письме разумнее использовать двоеточие, поскольку оно выглядит аккуратнее.

Деление с остатком

Остаток — это то, что осталось от действия деления неразделённым.

Например, пять разделить на два будет два и один в остатке:

5 : 2 = 2 (1 в остатке)

Можно проверить это умножением:

(2 × 2) + 1 = 5

Допустим, у нас имеются пять яблок

пять яблок

Разделим их поровну на двоих друзей. Но разделить поровну пять целых яблок не получится. Тогда данное деление покажет, что каждому достанется два яблока, а одно яблоко будет в остатке:

пять яблок деление с остатком

Деление уголком

Когда требуется разделить большое число, то прибегают к такому методу как деление уголком.

Прежде чем делить уголком, человек должен понимать:

  • обычное деление маленьких чисел;
  • деление с остатком;
  • умножение в столбик;
  • вычитание в столбик.

Рассмотрим деление уголком на простом примере. Пусть требуется найти значение выражения 9 : 3. Уголком это выражение записывается следующим образом:

delenie risunok 4

Это простой пример. Все знают, что девять разделить на три будет три. Ответ (частное) записывается под правым углом:

delenie risunok 3

Чтобы проверить есть ли остаток от деления, нужно частное умножить на делитель и полученный ответ записать под делимым. Частное в данном случае это 3, делитель тоже 3. Перемножаем эти два числа: 3 × 3 = 9. Получили 9. Записываем эту девятку под делимым:

delenie risunok 2

Теперь от делимого вычитаем девятку, которую мы под ним написали: 9 − 9 = 0. Остаток равен нулю. Проще говоря, остатка нет. На этом деление успешно завершено:

delenie risunok 1

Пример 2. Найти значение выражения 8 : 3

Восемь на три просто-так не разделится. Таблица умножения тоже не поможет. В данном случае будет присутствовать остаток от деления.

Сначала запишем данное выражение уголком:

delenie risunok 8

Теперь надо задать вопрос: «сколько троек в восьмёрке?» В восьмёрке содержится две тройки. Это можно увидеть даже воочию, если мы представим восьмёрку как восемь палочек:

8 группирока по три

В школе частное подбирается методом подбора. Все мы слышали такие фразы как «берём по одному» , «берём по два» или «берём по три». У нас сейчас как раз такой случай. Мы взяли по два, ответив что в восьмёрке две тройки. Записываем двойку в правом уголке:

delenie risunok 7

Теперь вынимаем остаток. Для этого умножаем частное на делитель (2 на 3) и записываем полученное число под делимым:

delenie risunok 56

Далее из 8 вычитаем 6. Полученное число и будет остатком:

delenie risunok 5

8 : 3 = 2 (2 в остатке)

Проверка: (2 × 3) + 2 = 6 + 2 = 8

Деление многозначного числа на однозначное

Данная тема с первого раза может показаться непонятной. Не спешите отчаиваться и забрасывать обучение. Понимание придёт в любом случае. Если не сразу, то немного позже. Главное не сдаваться и продолжать упорно изучать.

В предыдущих примерах мы делили однозначное число на однозначное, и это не доставляло нам лишних проблем. Сейчас мы займёмся тем, что будем делить многозначное число на однозначное.

Если непонятно, что такое однозначные и многозначные числа, советуем изучить предыдущий урок, который называется умножение.

Чтобы разделить многозначное число на однозначное, нужно сначала посмотреть на первую цифру этого многозначного числа, и проверить больше ли она делителя. Если больше, то разделить, а если нет, то проверить больше ли делителя первые две цифры многозначного числа. Если первые две цифры больше делителя, то разделить, а если нет, то проверить больше ли первые три цифры многозначного числа. И так до тех пор, пока не будет выполнено первое деление.

Сложно? Ни чуть, если мы разберём несколько примеров.

Пример 1. Найти значение выражения 25 : 3

25 это многозначное число, а 3 — однозначное. Применяем правило. Смóтрим на первую цифру многозначного числа. Первая цифра это 2. Два больше, чем три? Нет. Поэтому смóтрим первые две цифры многозначного числа. Первые две цифры образуют число 25. Двадцать пять больше, чем три? Да, больше. Поэтому выполняем деление числа 25 на 3. Записываем уголком данное выражение и начинаем делить:

25 на 3 шаг 1

Сколько троек в числе 25? Если с первого раза ответить сложно, можно заглянуть в таблицу умножения на три. Там необходимо отыскать произведение, которое меньше 25, но очень близко к нему или равно ему. Если найдём такое произведение, то необходимо забрать оттуда множитель, который дал такое произведение:

333

Это таблица умножения на три. В ней необходимо найти произведение, которое меньше 25, но очень близко к нему или равно ему. Очевидно, что это произведение 24, которое выделено синим. Из этого выражения необходимо забрать множитель, который дал такое произведение. Это множитель 8, который закрашен красным.

Данная восьмёрка и отвечает на вопрос сколько троек в числе 25. Записываем её в правом уголке нашего примера:

25 на 3 шаг 2

Теперь вынимаем остаток. Для этого умножаем частное на делитель (8 на 3) и полученное число записываем под делимым:

2533Теперь из делимого вычитаем число 24, получим 1. Это и будет остатком:

2534

25 : 3 = 8 (1 в остатке)

(8 × 3) + 1 = 24 + 1 = 25

Последний остаток всегда меньше делителя. Если последний остаток больше делителя это означает, что деление не завершено.

В приведённом примере последним остатком было число 1, а делителем число 3. Единица меньше, чем три, поэтому деление завершено. Последний остаток, меньший делителя, говорит о том, что он не содержит чисел, равных делителю.

В нашем примере, если задать вопрос «сколько троек в единице?», то ответом будет «нисколько», потому что единица не содержит троек, поскольку она меньше тройки.

Пример 2. Разделить 326 на 4.

Смотрим на первую цифру числа 326. Первая цифра это 3. Она больше делителя 4? Нет. Тогда проверяем две цифры делимого. Две цифры делимого образуют число 32. Больше ли оно делителя 4? Да, больше. Поэтому делим. Записываем уголком данное выражение:

324

Теперь задаём вопрос: «сколько четвёрок в числе 32?». В числе 32 восемь четвёрок. Это можно увидеть в таблице умножения на четыре:

4

Данная восьмёрка, которая выделена красным отвечает на вопрос сколько четвёрок в числе 32. Записываем её в правом уголке нашего примера:

3248Теперь умножаем 8 на 4, получаем 32 и записываем это число под делимым. Далее вычитаем это число из 32. Получим 0. Поскольку решение ещё не завершено, ноль не записываем:

32481Первое число 32 разделили. Осталось разделить оставшуюся 6. Для этого сносим эту шестёрку:

32482

Теперь делим 6 на 4. Для этого задаём вопрос: «сколько четвёрок в шестёрке?» В шестёрке одна четвёрка, это можно увидеть воочию, если представить шестёрку как шесть палочек:

6 группировка по 4

Записываем единицу в правом уголке нашего ответа:

32483Теперь умножаем нашу единицу на делитель (1 на 4) и записываем полученное число под шестёркой:

32484

Затем из 6 вычитаем 4, получаем число 2, которое является остатком:

32485

Получили 326 : 4 = 81 (2 в остатке)

Проверка: (81 × 4) + 2 = 324 + 2 = 326

Процедура, в которой мы ищем первое число для деления, сравнивая больше ли оно делителя или меньше, называется нахождением первого неполного делимого.

Вернёмся к предыдущему примеру 326 : 4. Первое неполное делимое в данном выражении было число 32, поскольку его мы разделили в первую очередь.

А в примере 25 : 3 первое неполное делимое было 25.

Пример 3. Найти значение выражения 384 : 5

Записываем данное выражение в уголком:

3845

Сначала находим первое неполное делимое. Первая цифра меньше делителя, поэтому проверяем две цифры. Две цифры вместе образуют число 38, которое больше делителя. Это число будет первым неполным делимым. Его и будем в первую очередь делить на делитель:

38452

Сколько пятёрок в числе 38? Если сразу ответить сложно, то можно посмотреть в таблицу умножения на пять и найти произведение, которое меньше 38, но очень близко к нему или равно ему. Найдя такое произведение, нужно забрать оттуда множитель, который будет отвечать на наш вопрос:

5

Это таблица умножения на пять. Находим произведение, которое меньше 38, но очень близко к нему или равно ему. Очевидно, что это произведение 35, которое выделено синим. Из этого выражения забираем множитель, который дал такое произведение. Это множитель 7, который выделен красным.

Данная семёрка отвечает на вопрос сколько пятёрок в числе 38. Записываем эту семёрку в правом уголке нашего примера:

38453Умножаем 7 на 5, получаем 35 и записываем его под 38:

38454

Теперь из 38 вычитаем 35, получим 3:

38455

Эта тройка является остатком, которая осталась неразделённой в результате деления 38 на 5. Но видно, что ещё надо разделить и 4. Эту 4 мы снесём и разделим вместе с тройкой:

38456

Видно, что после того, как мы снесли четвёрку, она вместе с тройкой образовала число 34. Это число 34 мы будем делить на 5. Для этого опять задаем вопрос: «сколько пятёрок в числе 34?». Можно снова глянуть в таблицу умножения на пять и найти произведение, которое меньше 34, но очень близко к нему или равно ему:

52

Видно, что в таблице умножения на пять число 30 меньше нашего 34, но близко к нему. Из этого выражения забираем множитель 6, который отвечает на наш вопрос. Записываем эту шестёрку в правом уголке нашего примера:

38457

Теперь умножаем 6 на 5, получаем 30 и записываем это число под 34:

38458

Теперь из 34 вычитаем 30, получаем 4. Эта четвёрка будет остатком от деления 384 на 5

38459

384 : 5 = 76 (и 4 в остатке)

Проверка: (76 × 5) + 4 = 380 + 4 = 384

Пример 4. Найти значение выражения 8642 : 4

Этот пример немного посложнее. Записываем уголком данное выражение:

86424

Первая цифра 8 больше делителя. Эта восьмёрка будет первым неполным делимым. Делим 8 на 4, получаем 2

864242Теперь умножаем 2 на 4, получаем 8. Записываем эту восьмёрку под первым неполным делимым:

864243

Вытаскиваем остаток: 8 − 8 = 0. Остаток от деления 8 на 4 это ноль. Ноль не записываем, поскольку решение примера не завершено.

Далее сносим цифру 6 и делим её на делитель, получаем 1

864244Умножаем 1 на 4, получаем 4. Записываем эту четвёрку под снесённой шестёркой. Затем вынимаем остаток, отняв от шести четыре:

864245

Получили остаток 2. Это остаток, который остался от деления 6 на 4.

Теперь сносим следующую цифру из делимого. Это цифра 4. Эта четвёрка вместе с предыдущим остатком 2 образует число 24. Его делим на делитель. Получим 6

864246

Умножаем 6 на 4, получаем 24. Записываем это число под 24

864247

Вытаскиваем остаток: 24 − 24 = 0. Ноль это остаток от деления 24 на 4. Ноль, как мы уже договорились, не записываем. Далее сносим последнюю цифру 2

864248

Здесь начинается самое интересное. Двойка это последняя цифра, которую мы снесли и которую надо разделить на делитель 4. Но дело в том, что двойка меньше четвёрки, а ведь делимое должно быть больше делителя. Если мы зададим вопрос «сколько четвёрок в двойке?», то ответом будет ноль, поскольку двойка меньше четвёрки и не может содержать в себе число, бóльшее себя самогó.

Поэтому два разделить на четыре это ноль:

864249Умножаем 0 на 4, получаем 0. Пишем этот 0 под двойкой:

8642410

Теперь находим остаток: 2 − 0 = 2. Двойка это остаток от деления 8642 на 4. Таким образом, пример завершён:

8642411

8642 : 4 = 2160 (2 в остатке)

Проверка: (2160 × 4) + 2 = 8640 + 2 = 8642

Деление чисел, у которых на конце 0

Чтобы разделить число, у которого на конце ноль, нужно временно отбросить этот ноль, выполнить обычное деление, и дописать этот ноль в ответе.

Например, разделим 120 : 3

1203

Сколько троек в числе 120? Чтобы ответить на этот вопрос, временно отбрасываем ноль на конце у 120 и делим 12 на 3, получаем 4. И дописываем этот ноль в частном. В итоге получаем 40:

12032

Теперь умножаем частное на делитель (40 на 3), получаем 120. Далее находим остаток: 120 − 120 = 0. Остаток равен нулю. Пример завершён.

1204

120 : 3 = 40

Проверка 40 × 3 = 120.

Такие простые примеры не нуждаются в том, чтобы их решали уголком. Достаточно знать таблицу умножения. Далее просто дописывать нули на конце. Например:

12 : 3 = 4 (делимое без нулей на конце)

120 : 3 = 40 (здесь у делимого один ноль)

1200 : 3 = 400 (здесь у делимого два нуля)

12000 : 3 = 4000 (здесь у делимого три нуля)

В этом способе есть небольшой подвох. Если вы заметили, деля такие числа, мы ссылаемся на таблицу умножения. А представьте, что надо разделить 400 на 5.

Можно рассуждать по старому — отбросить временно все нули и разделить обычные числа. А что будет если отбросить все нули в числе 400? Мы обнаружим, что делим 4 на 5, что недопустимо. В этом случае, надо отбрасывать только один ноль, и делить 40 на 5, а не 4 на 5

4005Завершаем этот пример, как обычно умножая частное на делитель, и выводя остаток:

40052Этот способ работает только в том случае, если удаётся гладко применить таблицу умножения. В остальных случаях, придётся искать обходные пути, вычисляя уголком или собирая частное подобно детскому конструктору.

Например, найдём значение выражения 1400 : 5. Здесь отбрасывание нулей нам ничего не даст. Этот пример надо решать уголком или собрать ответ, подобно конструктору. Давайте рассмотрим второй способ.

Что такое 1400? Вспоминаем разряды чисел. 1400 это одна тысяча и четыре сотни:

1000 + 400 = 1400

Можно по-отдельности разделить 1000 на 5 и 400 на 5:

1000 : 5 = 200

400 : 5 = 80

и сложить полученные результаты:

200 + 80 = 280

Итого: 1400 : 5 = 280

Решим этот же пример уголком:

140050

Деление многозначного числа на многозначное

Здесь придётся хорошенько напрячь свой мозговой аппарат и выжать из него по максимуму, потому что разделить многозначное число на многозначное не так то просто.

Принцип деления остаётся тем же что и раньше. Здесь так же надо находить первое неполное делимое. Здесь так же могут присутствовать остатки от деления.

Для начала введём новое понятие — круглое число. Круглым будем называть число, которое оканчивается нулём. Например, следующие числа являются круглыми:

10, 20, 30, 500, 600, 1000, 13000

Любое число можно превратить в круглое. Для этого первые цифры, образующие старший разряд, оставляют без изменений, а остальные цифры заменяют нулями.

Например, превратим число 19 в круглое число. Первая цифра этого числа 1 образует старший разряд (разряд десятков) — эту цифру оставляем как есть, а оставшуюся 9 заменяем на ноль. В итоге получаем 10

Ещё пример. Превратим число 125 в круглое число. Первая цифра 1 образует старший разряд (разряд сотен) — эту цифру оставляем без изменений, а оставшиеся цифры 25 заменяем нулями. В итоге получаем 100.

Ещё пример. Превратим число 2431 в круглое число. Первая цифра 2 образует старший разряд (разряд тысяч) — эту цифру оставляем без изменений, а остальные цифры 431 заменяем нулями. В итоге получаем 2000.

Ещё пример. Превратим число 13 735 в круглое число. Первые две цифры 13 образуют старший разряд (разряд десятков тысяч) — эти две цифры оставляем без изменений, а остальные цифры 735 заменяем нулями. В итоге получаем 13 000.

Внимание! В дальнейшем понятия круглого числа и перевод любого числа в круглое будут обобщены.

Возвращаемся к делению многозначных чисел на многозначные. Сложность деления таких чисел заключается в том, что частное надо находить методом подбора. Для этого прибегают к различным техникам, например, превращают делимое и делитель в круглые числа.

Пример 1. Найти значение выражения 88 : 12

Записываем данное выражение уголком:

8812Задаём вопрос сколько чисел 12 в числе 88? С первого раза ответить сложно. Придётся рассуждать.

Со школы мы помним, что частное подбиралось методом угадывания, говоря «берем по два» или «берем по три».

Давайте попробуем угадать частное. К сожалению, его просто так с неба взять нельзя. Это частное должно быть таким, чтобы при его умножении на делитель, получалось число, которое меньше делимого, но очень близко к нему или равно ему.

Давайте предположим, что частное равно 2. Умножаем это частное на делитель 12

88122

Что это нам дало? Полученное число меньше делимого, но близко к нему? Нет. Оно конечно же меньше делимого 88, но очень далеко от него. Значит двойка как частное не подходит.

Пробуем следующее число. Допустим частное равно 5

88123

Полученное число конечно меньше, но оно не близко к делимому 88. Значит пятёрка как частное тоже не подходит.

Попробуем сразу взять по 8

88124

На этот раз полученное число превзошло делимое. А оно должно быть меньше делимого, но очень близким к нему или равным ему. Значит восьмёрка как частное тоже не подходит Попробуем тогда взять по 7

88125

Наконец-то нашли подходящее частное! Умножив частное 7 на делитель 12, мы получили 84, которое меньше делимого, но близко к нему. Теперь находим остаток от деления. Для этого из 88 вычитаем 84, получаем 4.

88126

88 : 12 = 7 (4 в остатке)

Проверка: (12 × 7) + 4 = 84 + 4 = 88

Как видно из примера, на подбор частного уходит драгоценное время. Если мы будем сидеть на контрольной или на экзамене, где каждая минута очень дорогá, этот метод нам явно не поможет.

Чтобы сэкономить время, можно делимое и делитель превратить в круглые числа, а затем осуществить деление этих круглых чисел. Делить круглые числа намного проще и удобнее.

Например, чтобы разделить 90 на 10, достаточно отбросить нули у обоих чисел и разделить 9 на 1. В итоге получим 90 : 10 = 9.

Количество отбрасываемых нулей должно быть строго одинаковым. К примеру, если мы делим 900 на 90, то отбрасываем по нулю от каждого числа, поскольку у числа 900 два нуля, а у 90 только один. Отбросив по нулю от каждого числа, мы получим выражение 90 : 9 = 10. В итоге получаем 900 : 90 = 10.

В делении круглых чисел также нет ничего сложного. Постарайтесь понять это. Если непонятно, изучите этот момент несколько раз. Это очень важно.

Ниже приведено несколько примеров, где делятся круглые числа. Отбрасываемые нули закрашены серым цветом:

800 : 10 = 80 (отбросили по нулю и разделили 80 на 1, получили 80)

800 : 80 = 10 (отбросили по нулю и разделил 80 на 8, получили 10)

900 : 10 = 90 (отбросили по нулю и разделили 90 на 1, получили 90)

400 : 50 = 8 (отбросили по нулю и разделили 40 на 5, получили 8)

320 : 80 = 4 (отбросили по нулю и разделили 32 на 8, получили 4)

Заметно, что всё в конечном итоге свóдится к таблице умножения. Именно поэтому в школе требуют знать её наизусть. Мы тоже этого требуем, хоть и не принуждаем.

Теперь давайте решим предыдущий пример 88 : 12 где мы бились, находя частное методом угадывания.

Для начала превращаем делимое и делитель в круглые числа.

Круглым числом для 88 будет число 80.

А круглым числом для 12 будет число 10.

Теперь делим полученные круглые числа:

8812280 разделить 10 будет 8. Эту восьмёрку мы пишем в частном:

88123

Теперь проверяем, верно ли подобралось частное. Для этого умножаем частное на делитель (8 на 12). Восьмёрку как частное мы уже проверяли, когда решали этот пример методом угадывания. Она нам не подошла, поскольку после её умножения на делитель, получилось число 96, которое больше делимого. Зато подошло частное 7, которое меньше восьмёрки всего-лишь на единицу.

Отсюда можно сделать вывод, что в выражении 88 : 12 частное, полученное путём превращения делимого и делителя в круглые числа, больше лишь на единицу. Наша с вами задача уменьшить это частное на единицу.

Так и сделаем — уменьшим 8 на единицу: 8 − 1 = 7. Семёрка это частное. Записываем её в правом уголке нашего примера:

88126

Как видно, этим способом мы решили этот пример намного быстрее.

Пример 2. Найти значение выражения 1296 : 144

Записываем уголком данное выражение. Сразу же находим первое неполное делимое. Его образуют все четыре цифры делимого:

1296144Это деление многозначного числа на многозначное. Давайте применим только что изученный метод. Превратим делимое и делитель в круглые числа, а затем разделим их.

Для делимого 1296 круглым числом будет 1000. А для делителя 144 круглым числом будет 100.

Делим 1000 на 100, получим 10. Проверим полученную десятку, умножив её на делитель 144

12961441

Десятка не подходит, поскольку при умножении получается число, которое больше делимого.

Попробуем взять по 9, уменьшив десятку на единицу.

12961442

Проверяем девятку. Для этого умножаем её на делитель:

12961443

Красота! Полученное число оказалось не только ближе к делимому, но и равным ему. Это значит, что деление выполнилось без остатка. Завершаем данный пример, вычитая из 1296 полученное число 1296

129614441296 : 144 = 9

Проверка: 144 × 9 = 1296

Пример 3. Попробуем решить большой и сложный пример 227 492 : 331

Записываем уголком данное выражение. Сразу же определяем первое неполное делимое. Его образуют первые четыре цифры делимого 2274. Значит сначала будем делить 2274 на 331. Их же превратим в круглые числа.

Для числа 2274 круглым числом будет 2000. А для 331 круглым числом будет 300

12961443Получили 6. Проверим верно ли подобралась эта шестёрка. Для этого, умножим её на делитель 331:

12963311Шестёрка подошла, потому что она отвечает на вопрос сколько чисел 331 в числе 2274. Если бы мы взяли по семь, то получилось бы следующее:

22743317Если бы мы взяли по 7 и проверили эту семёрку, то получили бы 2317, которое больше делимого, а это недопустимо.

Продолжаем решать наш пример. Вычитаем из 2274 число 1986, получаем 288:

12963312

288 это остаток от деления 2274 на 331. Далее, чтобы продолжить деление, нужно снести девятку:

129633123

Теперь надо разделить 2889 на 331. Превращаем их в круглые числа и делим их. Сразу же проверяем полученное таким способом частное:

12961445Умножив 6 на 331, мы снова получили 1986. Это число должно быть меньше делимого 2889, но близким к нему или равным ему. Но 1986 очень далеко от него. Значит шестёрка, как частное не подходит. Проверим тогда семёрку. Это первый случай, когда нам не помог второй способ, который экономил нам время. Дальнейшее решение придётся проводить методом угадывания частного:

12961446Проверили семёрку. Снова получили число, которое далеко от делимого 2889. Значит семёрка тоже не подходит. Проверим восьмёрку:

12961447

Восьмёрка подошла. Она отвечает на вопрос сколько чисел 331 в числе 2889. Если бы мы взяли по девять, то при умножении на делитель, получили бы число 2979, а это уже больше делимого 2889.

Теперь вынимаем остаток от деления 2889 на 331. Для этого от 2889 вычитаем 2648 и получаем 241

12961448

241 это остаток от деления 2889 на 331. Чтобы продолжить деление, нужно снести 2 из главного делимого:

12961449

Теперь делим 2412 на 331. Возьмём по 7

129614410

Теперь находим последний остаток. Для этого из 2412 вычитаем 2317, получаем 95. На этом пример завершается:

129614411

227 492 : 331 = 687 (95 в остатке)

Проверка: (331 × 687) + 95= 227 397 + 95 = 227 492

На этом данный урок можно завершить. Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь делить числа уголком. Этот навык нарабатывается со временем в сочетании с интенсивными тренировками. Ошибки дело не страшное. Самое главное — понимать.

Отметим, что в данном уроке рассмотрено только деление с остатком. Деление без остатка мы рассмотрим в следующих уроках. Сделано это с целью не усложнять обучение. Как говорится, всему своё время.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Выполните деление:
Решение:

Задание 2. Выполните деление:
Решение:

Задание 3. Выполните деление:
Решение:

Задание 4. Выполните деление:
Решение:

Задание 5. Выполните деление:
Решение:

Задание 6. Выполните деление:
Решение:

Задание 7. Выполните деление:
Решение:

Задание 8. Выполните деление:
Решение:

Задание 9. Выполните деление:
Решение:

Задание 10. Выполните деление:
Решение:

Задание 11. Выполните деление:
Решение:

Задание 12. Выполните деление:
Решение:

Задание 13. Выполните деление:
Решение:

Задание 14. Выполните деление:
Решение:

Задание 15. Выполните деление:
Решение:

Задание 16. Выполните деление:
Решение:

Задание 17. Выполните деление:
Решение:

Задание 18. Выполните деление:
Решение:

Задание 19. Выполните деление:
Решение:

Задание 20. Выполните деление:
Решение:

Задание 21. Выполните деление:
Решение:

Задание 22. Выполните деление:
Решение:

Задание 23. Выполните деление:
Решение:

Задание 24. Выполните деление:
Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *