Геометрические свойства шара

Шар и сфера — это прежде всего геометрические фигуры, и если шар — это геометрическое тело, то сфера — это поверхность шара. Этими фигурами интересовались еще многие тысячи лет назад до н.э.

Впоследствии когда было открыто, что Земля — это шар, а небо — небесная сфера, получило развитие новое увлекательное направление в геометрии — геометрия на сфере или сферическая геометрия. Для того, чтобы рассуждать о размере и объеме шара, нужно сначала дать ему определение.

Шар

Шаром радиуса R с центром в точке О в геометрии называют тело, которое создано всеми точками пространство, имеющими общее свойство. Эти точки находятся на расстоянии, не превышающем радиуса шара, то есть заполняют все пространство меньше радиуса шара во все стороны от его центра. Если мы рассмотрим только те точки, которые равноудалены от центра шара — мы будем рассматривать его поверхность или оболочку шара.

Как можно получить шар? Мы можем вырезать из бумаги круг и начать его вращать вокруг его же диаметра. То есть диаметр круга будет осью вращения. Образованная фигура — будет шар. Поэтому шар называют также телом вращения. Потому что он может быть образован путем вращения плоской фигуры — круга.

Возьмем какую-нибудь плоскость и разрежем ею наш шар. Подобно тому как мы режем ножом апельсин. Кусок, который мы отсечем от шара, называется шаровым сегментом.

В Древней Греции умели не только работать с шаром и сферой, как с геометрическими фигурами, например, использовать их при строительстве, а также умели расчитывать площадь поверхности шара и объем шара.

Сфера

Сферой иначе называется поверхность шара. Сфера — это не тело — это поверхность тела вращения. Однако так как и Земля и многие тела имеют сферическую форму, например капля воды, то изучение геометрических соотношений внутри сферы получило большое распространение.

Например, если мы соединим две точки сферы между собой прямой линией, то эта прямая линия назовется хордой, а если эта хорда пройдет через центр сферы, который совпадает с центром шара, то хорда назовется диаметром сферы.

Если мы проведем прямую линию, которая коснется сферы всего в одной точке, то эта линия будет называться касательной. Кроме того, эта касательная к сфере в этой точке будет перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания.

Если мы продолжим хорду до прямой в одну и другую сторону от сферы, то эта хорда станет называться секущей. Или можно сказать иначе — секущая к сфере содержит в себе ее хорду.

Объем шара

Формула для вычисления объема шара имеет вид:

V=4/3 πR3,

где R — радиус шара.

Если нужно найти объем шарового сегмента — воспользуйтесь формулой:

V сег=πh2(R-h/3), h — высота шарового сегмента.

Площадь поверхности шара или сферы

Чтобы вычислить площадь сферы или площадь поверхности шара (это одно и то же):

Шар – это тело, полученное вращением полукруга вокруг диаметра. Поверхность шара называется сферой. Сферу можно рассматривать как тело, полученное вращением полуокружности около её диаметра.

Сфера (Шар) является телом вращения.

Шар (Сфера)

Рис.1

Сравните:

Сфера (сферическая или шаровая поверхность) — называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки — центра сферы. Тело, ограниченное шаровой (сферической) поверхностью, называется шаром. Шар можно получить, вращая полукруг (или круг) около его диаметра.

Шаром называется тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного (радиуса шара), от данной точки (центра шара).

Центр, диаметр и радиус шара соответствует центру, диаметру и радиусу сферы.

Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле: $$S=4\pi\cdot R^2$$ и равна учетверенной площади большого круга.

Рис.2

Шаровой сегмент

Рис.3

← Конус Стереометрия ( Справочник ) Описанные шары →
Рекомендуем для обучения:
Геометрия ( Справочник )

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.

Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называемой радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности проходящей через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар, также как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

1. Сечение шара плоскостью

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Доказательство: Пусть — секущая плоскость и О — центр шара (рис. 1) Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость и обозначим через О’ основание этого перпендикуляра.

Рис. 1

Рис. 2

Пусть X — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости . По теореме Пифагора ОХ2=ОО’2+О’Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то О’Х?, т.е. любая точка сечения шара плоскостью находится от точки О’ на расстоянии, не большем , следовательно, она принадлежит кругу с центром О’ и радиусом . Обратно: любая точка Х этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О’. Теорема доказана.

Площадь, проходящая через центр шара, называется диаметрально плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы — большой окружностью.

2. Симметрия шара

Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Доказательство: Пусть — диаметральная плоскость и Х — произвольная точка шара. Построим точку Х’, симметричную точке Х относительно плоскости . Плоскость перпендикулярна отрезку ХХ’ и пересекается ним в его середине (в точке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ’ следует, что ОХ’ =ОХ.

Так как ОХ?R, то и ОХ’?R, т.е. точка, симметричная точке Х, принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано.

Рис. 3

3. Касательная плоскость к шару

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.

Доказательство: Пусть б — плоскость касательная к шару, и А — точка касания. Возьмем произвольную точку Х плоскости б, отличную от А. Так как ОА — перпендикуляр, а ОХ — наклонная, то ОХ > ОА = R. Следовательно, точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана.

Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.

4. Пересечение двух сфер

Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Доказательство: Пусть О1 и О2 — центры сфер и А — их точка пересечения. Проведем через точку А плоскость б, перпендикулярную прямой О1О2

Обозначим через В точку пересечения плоскости б с прямойО1О2. Плоскость б пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер.

Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Проведем плоскость через точку Х и прямую О1О2 . Она пересечет сферы по окружностям с центрами О1 и О2 . Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке Х. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения .Мы пришли к противоречию . Итак, пересечение наших сфер есть окружность. Теорема доказана.

геометрический шар перпендикулярный

Рис. 7

Рис. 8

Размещено на Allbest.ru

Смотреть что такое «ВОЗДУШНЫЙ ШАР» в других словарях:

  • Воздушный шар — (balloon) Крупная сумма, выплачиваемая время от времени для погашения долга. К займам воздушный шар (balloon loans) относятся те, погашение которых происходит не в форме регулярных платежей, а по мере появлении у заемщика средств, т.е. крупными… … Финансовый словарь

  • воздушный шар — монгольфьер, аэростат, дирижабль Словарь русских синонимов. воздушный шар сущ., кол во синонимов: 5 • аэростат (13) • … Словарь синонимов

  • ВОЗДУШНЫЙ ШАР — (balloon) Крупная сумма, выплачиваемая время от времени для погашения долга. К займам типа воздушный шар (balloon loans) относятся те, погашение которых происходит не в форме регулярных платежей, а по мере появления у заемщика средств, то есть… … Словарь бизнес-терминов

  • ВОЗДУШНЫЙ ШАР — (Balloon) см. Аэростат. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 … Морской словарь

  • Воздушный шар — В дополнение к помещенным уже ранее статьям Аэронавтика и Аэростат здесь приводятся сведения, касающиеся приготовления и наполнения В. шаров и некоторых случаев их применения. В воздухоплавательной практике применяют следующие газы: водород,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ВОЗДУШНЫЙ ШАР — Увиденный во сне воздушный шар предвещает погибшие надежды и несчастья в деловой жизни. Подниматься на воздушном шаре – к неудачному путешествию. Видеть во сне воздушный шар, быстро уносимый потоком воздуха, предсказывает безответную… … Сонник Мельникова

  • Воздушный шар — Под словом «воздушный шар» может пониматься: Аэростат Монгольфьер Шарльер Стратостат Воздушный шарик … Википедия

  • ВОЗДУШНЫЙ ШАР — 1) вид займа, по условиям которого последний платеж в его погашении значительно больше предыдущих (см. т.ж. ЗАЕМ ВОЗДУШНЫЙ ШАР ); 2) характеристика последовательного выпуска облигаций, у которых в первые годы действия предусматриваются к… … Энциклопедический словарь экономики и права

  • Воздушный шар — Сферический аэростат. В 1887 г. Менделеев решил использовать воздушный шар для наблюдения солнечного затмения (В. Данилевский. Русская техника) … Фразеологический словарь русского литературного языка

  • воздушный шар — oro balionas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. air balloon vok. Luftballon, m rus. воздушный шар, m pranc. ballon, m … Fizikos terminų žodynas

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *